Calcule o volume do sólido definido pelas desigualdades x^{2}+y^{2} \leq 9,3 \leq z \leq 6 ; x^{2}+y^{2} \leq z^{2}, 0 \leq z \leq 3 e x^{2}+y^{2} \geq 1. Sugestão: usar coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o volume do sólido definido pelas desigualdades a seguir.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
x^{2}+y^{2} \leq 9,\; 3 \leq z \leq 6;
x^{2}+y^{2} \leq z^{2},\; 0 \leq z \leq 3;
x^{2}+y^{2} \geq 1.
Sugestão do enunciado: usar coordenadas cilíndricas.
Resumo do que vou procurar: a região no espaço é dada por duas “fatias” em z (uma entre z=3 e z=6 com r\le 3, outra entre z=0 e z=3 com r\le z), e ainda há a restrição externa r\ge 1. O objetivo é integrar o elemento de volume sobre essa região e obter o volume total.

Passo 2

Troca para coordenadas cilíndricas — aula rápida e necessária.
  • Definição: em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis (r,\theta,z) com
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
onde \;r\ge 0,\; \theta\in[0,2\pi),\; z\in\mathbb{R}.
  • Elemento de volume: ao passar de (x,y,z) para (r,\theta,z) aparece o fator jacobiano r. Assim o volume de uma pequena caixa é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação intuitiva do r: um pedaço angular de espessura d\theta tem comprimento lateral \approx r\,d\theta, daí vem o fator r multiplicando a área dr\cdot (r\,d\theta).

Passo 3

Traduzindo as desigualdades para cilíndricas (uso direto das fórmulas acima):
  • x^{2}+y^{2}\le 9 \Longrightarrow r^{2}\le 9 \Longrightarrow 0\le r\le 3.
  • x^{2}+y^{2}\le z^{2} \Longrightarrow r^{2}\le z^{2} \Longrightarrow r\le |z|.
    Como a segunda desigualdade é dada com 0\le z\le 3, temos r\le z nessa faixa (porque z\ge 0).
  • x^{2}+y^{2}\ge 1 \Longrightarrow r^{2}\ge 1 \Longrightarrow r\ge 1.
Agora combinamos com os intervalos de z dados no enunciado:
  • Para 3\le z\le 6 vale r\le 3 e r\ge 1. Logo, para esses z temos 1\le r\le 3.
  • Para 0\le z\le 3 vale r\le z e r\ge 1. Para que exista r com 1\le r\le z é necessário z\ge 1. Portanto, na parte do cone a porção não é para todo 0\le z\le 3, mas sim para 1\le z\le 3 com 1\le r\le z. Para 0\le z<1 a condição r\ge1 contradiz r\le z<1, então não há pontos aí.
Observação (importante): em \theta a região é completa (o enunciado não impõe restrição angular), então \theta\in[0,2\pi).

Passo 4

Escrevendo a integral de volume como soma de duas partes (uma parte para 1\le z\le 3 e outra para 3\le z\le 6), com dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
Parte 1 (cone truncado, \;1\le z\le 3):
V_1 = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=1}^{3}\int_{r=1}^{r=z} r\,dr\,dz\,d\theta.
Parte 2 (cilindro, \;3\le z\le 6):
V_2 = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=3}^{6}\int_{r=1}^{r=3} r\,dr\,dz\,d\theta.
O volume total será V = V_1 + V_2. Agora resolvemos cada integral passo a passo.

Passo 5

Cálculo de V_1.
Primeiro efetuamos a integração em r:
\int_{r=1}^{r=z} r\,dr = \left.\tfrac{1}{2}r^{2}\right|_{1}^{z} = \tfrac{1}{2}\big(z^{2}-1\big).
Agora integramos em z e \theta. A integral em \theta é simples (fator 2\pi):
V_1 = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{1}^{3} \tfrac{1}{2}\big(z^{2}-1\big)\,dz = 2\pi \cdot \tfrac{1}{2}\int_{1}^{3}\big(z^{2}-1\big)\,dz = \pi \int_{1}^{3}\big(z^{2}-1\big)\,dz.
Calcule a integral em z:
\int\big(z^{2}-1\big)\,dz = \tfrac{1}{3}z^{3}-z.
Avalia de 1 a 3:
\left(\tfrac{1}{3}\cdot 3^{3}-3\right)-\left(\tfrac{1}{3}\cdot 1^{3}-1\right) = (9-3)-\left(\tfrac{1}{3}-1\right) = 6 -\left(-\tfrac{2}{3}\right) = 6+\tfrac{2}{3} = \tfrac{20}{3}.
Portanto
V_1 = \pi\cdot \tfrac{20}{3} = \tfrac{20}{3}\pi.

Passo 6

Cálculo de V_2.
Primeiro a integral em r:
\int_{r=1}^{r=3} r\,dr = \left.\tfrac{1}{2}r^{2}\right|_{1}^{3} = \tfrac{1}{2}(9-1) = 4.
Agora integraremos em z e \theta:
V_2 = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{3}^{6} 4 \,dz = 2\pi \cdot 4 \cdot (6-3) = 8\pi \cdot 3 = 24\pi.

Passo 7

Soma das duas partes e resultado final.
V = V_1 + V_2 = \tfrac{20}{3}\pi + 24\pi.
Colocando em denominador comum:
24\pi = \tfrac{72}{3}\pi,
logo
V = \left(\tfrac{20}{3}+\tfrac{72}{3}\right)\pi = \tfrac{92}{3}\pi.

Resposta

\tfrac{92}{3}\pi

Exercícios relacionados