Calcule o volume do sólido definido pelas desigualdades x^{2}+y^{2} \leq 9,3 \leq z \leq 6 ; x^{2}+y^{2} \leq z^{2}, 0 \leq z \leq 3 e x^{2}+y^{2} \geq 1. Sugestão: usar coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o volume do sólido definido pelas desigualdades a seguir.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
x^{2}+y^{2} \leq 9,\; 3 \leq z \leq 6;
x^{2}+y^{2} \leq z^{2},\; 0 \leq z \leq 3;
x^{2}+y^{2} \geq 1.
Sugestão do enunciado: usar coordenadas cilíndricas.
Resumo do que vou procurar: a região no espaço é dada por duas “fatias” em z (uma entre z=3 e z=6 com r\le 3, outra entre z=0 e z=3 com r\le z), e ainda há a restrição externa r\ge 1. O objetivo é integrar o elemento de volume sobre essa região e obter o volume total.
Passo 2
Troca para coordenadas cilíndricas — aula rápida e necessária.
Definição: em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis (r,\theta,z) com
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
onde \;r\ge 0,\; \theta\in[0,2\pi),\; z\in\mathbb{R}.
Elemento de volume: ao passar de (x,y,z) para (r,\theta,z) aparece o fator jacobiano r. Assim o volume de uma pequena caixa é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação intuitiva do r: um pedaço angular de espessura d\theta tem comprimento lateral \approx r\,d\theta, daí vem o fator r multiplicando a área dr\cdot (r\,d\theta).
Passo 3
Traduzindo as desigualdades para cilíndricas (uso direto das fórmulas acima):
x^{2}+y^{2}\le z^{2} \Longrightarrow r^{2}\le z^{2} \Longrightarrow r\le |z|.
Como a segunda desigualdade é dada com 0\le z\le 3, temos r\le z nessa faixa (porque z\ge 0).
Agora combinamos com os intervalos de z dados no enunciado:
Para 3\le z\le 6 vale r\le 3 e r\ge 1. Logo, para esses z temos 1\le r\le 3.
Para 0\le z\le 3 vale r\le z e r\ge 1. Para que exista r com 1\le r\le z é necessário z\ge 1. Portanto, na parte do cone a porção não é para todo 0\le z\le 3, mas sim para 1\le z\le 3 com 1\le r\le z. Para 0\le z<1 a condição r\ge1 contradiz r\le z<1, então não há pontos aí.
Observação (importante): em \theta a região é completa (o enunciado não impõe restrição angular), então \theta\in[0,2\pi).
Passo 4
Escrevendo a integral de volume como soma de duas partes (uma parte para 1\le z\le 3 e outra para 3\le z\le 6), com dV=r\,dr\,d\theta\,dz.