\varphi é o ângulo polar (medido a partir do eixo z positivo), com 0\le\varphi\le\pi;
\theta é o ângulo azimutal no plano xy, com 0\le\theta<2\pi.
O fator \rho^{2}\sin\varphi é o jacobiano que transforma o elemento de volume cartesiano dV em esféricas:
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\theta\,d\varphi.
Explicando de forma simples: \rho^{2} vem da “área” da esfera de raio \rho e \sin\varphi ajusta a variação angular em \varphi.
Passo 3
Interpretação geométrica dos limites (cada um dá uma superfície ou condição):
\theta varre de 0 a 2\pi: full rotation ao redor do eixo z (região é de revolução completa).
\varphi vai de 0 a \pi/3: isso limita os pontos a ficarem dentro do cone cujo semiângulo com o eixo z é \pi/3. A superfície \varphi=\pi/3 é um cone reto com vértice na origem e abertura de 60^\circ.
\rho vai de 0 até \operatorname{sec}\varphi. Para entender essa superfície superior, calcule z nela:
Logo, \rho=\operatorname{sec}\varphi corresponde ao plano horizontal z=1.
Concluímos: W é a porção sólida do cone \varphi\le\pi/3 que fica abaixo do plano z=1 e acima da origem. Em outras palavras, é um cone com vértice na origem, limitado superiormente pelo plano z=1. A curva de interseção entre o plano z=1 e o cone é um círculo de raio
Fazemos a substituição u=\cos\varphi. Então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=1; quando \varphi=\pi/3 temos u=\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}. Além disso \operatorname{sec}^{3}\varphi=(1/\cos^{3}\varphi)=u^{-3}. Assim
Portanto o valor da integral — o volume do sólido W — é \pi.
Resposta
Esboço: Porção de um cone reto com vértice na origem e semiângulo \varphi=\tfrac{\pi}{3} (ângulo de 60^\circ com o eixo z), limitada acima pelo plano z=1; a base em z=1 é um círculo de raio \sqrt{3}.
Volume: \pi