Faça o esboço do sólido W cujo volume é dado pela integral
\int_{0}^{\pi / 3} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\operatorname{sec} \varphi} \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \theta d \varphi
e calcule essa integral.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) fazer o esboço (descrição geométrica) do sólido W cujo volume é dado por
\int_{0}^{\pi / 3} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\operatorname{sec} \varphi} \rho^{2} \sin \varphi \, d \rho \, d \theta \, d \varphi,
e (2) calcular essa integral (ou seja, encontrar o volume de W).\n
Informações dadas:
0\le \theta \le 2\pi,\qquad 0\le \varphi \le \frac{\pi}{3},\qquad 0\le \rho \le \operatorname{sec}\varphi,
e o elemento de volume usado na integral é \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\theta\,d\varphi.

Passo 2

Vamos lembrar como são as coordenadas esféricas (isso é importante para interpretar os limites):
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
Aqui:
  • \rho é a distância do ponto à origem ( \rho\ge 0);
  • \varphi é o ângulo polar (medido a partir do eixo z positivo), com 0\le\varphi\le\pi;
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, com 0\le\theta<2\pi.
    O fator \rho^{2}\sin\varphi é o jacobiano que transforma o elemento de volume cartesiano dV em esféricas:
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\theta\,d\varphi.
Explicando de forma simples: \rho^{2} vem da “área” da esfera de raio \rho e \sin\varphi ajusta a variação angular em \varphi.

Passo 3

Interpretação geométrica dos limites (cada um dá uma superfície ou condição):
  • \theta varre de 0 a 2\pi: full rotation ao redor do eixo z (região é de revolução completa).
  • \varphi vai de 0 a \pi/3: isso limita os pontos a ficarem dentro do cone cujo semiângulo com o eixo z é \pi/3. A superfície \varphi=\pi/3 é um cone reto com vértice na origem e abertura de 60^\circ.
  • \rho vai de 0 até \operatorname{sec}\varphi. Para entender essa superfície superior, calcule z nela:
z=\rho\cos\varphi=\operatorname{sec}\varphi\cos\varphi=1.
Logo, \rho=\operatorname{sec}\varphi corresponde ao plano horizontal z=1.
Concluímos: W é a porção sólida do cone \varphi\le\pi/3 que fica abaixo do plano z=1 e acima da origem. Em outras palavras, é um cone com vértice na origem, limitado superiormente pelo plano z=1. A curva de interseção entre o plano z=1 e o cone é um círculo de raio
r=\rho\sin\varphi\Big|_{\varphi=\pi/3,\\ \rho=\operatorname{sec}(\pi/3)} = 2\sin\frac{\pi}{3}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
Portanto a base do sólido em z=1 é um círculo de raio \sqrt{3}.

Passo 4

Agora calculamos a integral. Primeiro integramos em \rho:
\int_{0}^{\operatorname{sec}\varphi} \rho^{2}\,d\rho = \left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{\operatorname{sec}\varphi} = \frac{1}{3}\operatorname{sec}^{3}\varphi.
Substituindo na integral total obtemos
\int_{0}^{\pi/3}\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{3}\operatorname{sec}^{3}\varphi \sin\varphi \, d\theta \, d\varphi.

Passo 5

Integramos em \theta (é simples, pois não depende de \theta):
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Então resta a integral em \varphi:
\frac{2\pi}{3}\int_{0}^{\pi/3} \operatorname{sec}^{3}\varphi \sin\varphi \, d\varphi.

Passo 6

Fazemos a substituição u=\cos\varphi. Então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=1; quando \varphi=\pi/3 temos u=\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}. Além disso \operatorname{sec}^{3}\varphi=(1/\cos^{3}\varphi)=u^{-3}. Assim
\int_{0}^{\pi/3} \operatorname{sec}^{3}\varphi \sin\varphi \, d\varphi = \int_{1}^{1/2} u^{-3}(-du) = \int_{1/2}^{1} u^{-3}\,du.
Agora integramos u^{-3}:
\int u^{-3}\,du = \int u^{-3}\,du = -\frac{1}{2}u^{-2}.
Avaliaremos de u=\tfrac{1}{2} até u=1:
\int_{1/2}^{1} u^{-3}\,du = \left[-\frac{1}{2}u^{-2}\right]_{1/2}^{1} = \left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(1/2)^{2}}\right) = -\frac{1}{2} -\left(-2\right)=\frac{3}{2}.

Passo 7

Voltando ao fator \frac{2\pi}{3}, o volume é
\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{3}{2}=\pi.
Portanto o valor da integral — o volume do sólido W — é \pi.

Resposta

Esboço: Porção de um cone reto com vértice na origem e semiângulo \varphi=\tfrac{\pi}{3} (ângulo de 60^\circ com o eixo z), limitada acima pelo plano z=1; a base em z=1 é um círculo de raio \sqrt{3}.
Volume: \pi

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