Determinar o volume interno ao cilindro x^{2}+y^{2}=9,0 \leq z \leq 9 e externo ao cone x^{2}+y^{2}= \frac{1}{9} z^{2}, z \geq 0.
17. Considere a integral \iiint_{\mathrm{B}} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z onde B é o sólido definido pelas desigualdades x^{2}+y^{2} \leq z, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 2, z \geq 0. Determine os extremos de integração, e escreva as integrais iteradas usando coordenadas cartesianas, coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas. Calcule esta integral usando o sistema de coordenadas que achar mais conveniente.
Passo 1
Primeiro vamos identificar claramente o que cada parte do enunciado dá e o que pede.
Problema A (cilindro e cone): está dado o cilindro \;x^{2}+y^{2}=9,\;0\le z\le 9\; e o cone \;x^{2}+y^{2}=\tfrac{1}{9}z^{2},\;z\ge 0\;. Pede-se o volume do sólido que é interno ao cilindro e externo ao cone.
Informações relevantes: os limites em z do cilindro são 0 a 9; a equação do cone pode ser escrita em termos de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Problema B (integral sobre B): está dado o conjunto B pelas desigualdades \;x^{2}+y^{2}\le z,\;x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 2,\;z\ge 0\;. Pede-se:
determinar os extremos (limites) de integração;
escrever as integrais iteradas em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas;
calcular a integral \iiint_{B} z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z usando o sistema mais conveniente.
Não vou resolver nada ainda; a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Vamos traduzir as equações em coordenadas cilíndricas (porque para volumes com cilindros, cones, paraboloides e esferas as coordenadas cilíndricas/esféricas costumam simplificar muito).
Lembrete rápido e prático sobre coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
onde r\ge0,\;\theta\in[0,2\pi). O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
Explicação do Jacobiano: ao passar de (x,y,z) para (r,\theta,z) surge um fator r porque a área de um anel entre r e r+\mathrm{d}r é aproximadamente 2\pi r\,\mathrm{d}r, ou formalmente pelo determinante da matriz de derivadas.
Também lembrete sobre coordenadas esféricas (usarei depois para escrever a integral, não para calcular B):
Reescrevendo as superfícies em coordenadas cilíndricas:
Cilindro \;x^{2}+y^{2}=9\Rightarrow r^{2}=9\Rightarrow r=3. O cilindro limita r por cima: dentro do cilindro temos \;0\le r\le 3.
Cone \;x^{2}+y^{2}=\tfrac{1}{9}z^{2}\Rightarrow r^{2}=\tfrac{1}{9}z^{2}\Rightarrow r=\tfrac{z}{3} (aqui usei z\ge0). O cone separa a região interna/externa: ser externo ao cone significa estar no conjunto de pontos com r\ge \tfrac{z}{3}.
Além disso o cilindro impõe 0\le z\le 9.
Portanto, para cada z fixo com 0\le z\le 9, os valores de r na região pedida vão de r=\tfrac{z}{3} (sobre o cone) até r=3 (interior do cilindro). O ângulo \theta percorre todo o círculo [0,2\pi].
Passo 4
Escrevemos o volume V como integral tripla em coordenadas cilíndricas:
V = \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\;\int_{0}^{9}\tfrac{81-z^{2}}{18}\,\mathrm{d}z =2\pi\cdot\tfrac{1}{18}\int_{0}^{9}(81-z^{2})\,\mathrm{d}z =\tfrac{\pi}{9}\int_{0}^{9}(81-z^{2})\,\mathrm{d}z.
Colocando u=r^{2} obtemos u^{2}+u-2=0 que fatoriza como (u-1)(u+2)=0. Como u=r^{2}\ge0 fica u=1, logo r^{2}=1\Rightarrow r=1 e então z=r^{2}=1. Assim a curva de interseção fica no círculo r=1, z=1.
Conclusão sobre projeção no plano xy: a projeção de B é o disco r\le 1 (porque fora desse disco o paraboloide já fica acima do ponto máximo compatível com a esfera).
Passo 6
Para coordenadas cartesianas usamos a projeção no plano xy: o disco de raio 1. Então os extremos são:
Se \rho>0 podemos escrever a equação da superfície como
\rho = \frac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}.
A interseção com a esfera \rho=\sqrt{2} ocorre quando
\sqrt{2} = \frac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}.
Para encontrar o ângulo de interseção observe que o ponto de interseção já conhecido tem (r,z)=(1,1) então \rho=\sqrt{2} e \cos\varphi = z/\rho = 1/\sqrt{2} portanto \varphi=\pi/4. Isso confirma que a superfície paraboloide em termos de \rho atinge \rho=\sqrt{2} em \varphi=\pi/4.