Determinar o volume interno ao cilindro x^{2}+y^{2}=9,0 \leq z \leq 9 e externo ao cone x^{2}+y^{2}= \frac{1}{9} z^{2}, z \geq 0.
17. Considere a integral \iiint_{\mathrm{B}} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z onde B é o sólido definido pelas desigualdades x^{2}+y^{2} \leq z, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 2, z \geq 0. Determine os extremos de integração, e escreva as integrais iteradas usando coordenadas cartesianas, coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas. Calcule esta integral usando o sistema de coordenadas que achar mais conveniente.

Passo 1

Primeiro vamos identificar claramente o que cada parte do enunciado dá e o que pede.
  • Problema A (cilindro e cone): está dado o cilindro \;x^{2}+y^{2}=9,\;0\le z\le 9\; e o cone \;x^{2}+y^{2}=\tfrac{1}{9}z^{2},\;z\ge 0\;. Pede-se o volume do sólido que é interno ao cilindro e externo ao cone.
    Informações relevantes: os limites em z do cilindro são 0 a 9; a equação do cone pode ser escrita em termos de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Problema B (integral sobre B): está dado o conjunto B pelas desigualdades \;x^{2}+y^{2}\le z,\;x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 2,\;z\ge 0\;. Pede-se:
    1. determinar os extremos (limites) de integração;
    2. escrever as integrais iteradas em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas;
    3. calcular a integral \iiint_{B} z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z usando o sistema mais conveniente.
Não vou resolver nada ainda; a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Vamos traduzir as equações em coordenadas cilíndricas (porque para volumes com cilindros, cones, paraboloides e esferas as coordenadas cilíndricas/esféricas costumam simplificar muito).
Lembrete rápido e prático sobre coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
onde r\ge0,\;\theta\in[0,2\pi). O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
\mathrm{d}V = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z.
Explicação do Jacobiano: ao passar de (x,y,z) para (r,\theta,z) surge um fator r porque a área de um anel entre r e r+\mathrm{d}r é aproximadamente 2\pi r\,\mathrm{d}r, ou formalmente pelo determinante da matriz de derivadas.
Também lembrete sobre coordenadas esféricas (usarei depois para escrever a integral, não para calcular B):
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
com \rho\ge0,\; \varphi\in[0,\pi]. O elemento de volume é
\mathrm{d}V = \rho^{2}\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta.

Passo 3

Reescrevendo as superfícies em coordenadas cilíndricas:
  • Cilindro \;x^{2}+y^{2}=9\Rightarrow r^{2}=9\Rightarrow r=3. O cilindro limita r por cima: dentro do cilindro temos \;0\le r\le 3.
  • Cone \;x^{2}+y^{2}=\tfrac{1}{9}z^{2}\Rightarrow r^{2}=\tfrac{1}{9}z^{2}\Rightarrow r=\tfrac{z}{3} (aqui usei z\ge0). O cone separa a região interna/externa: ser externo ao cone significa estar no conjunto de pontos com r\ge \tfrac{z}{3}.
  • Além disso o cilindro impõe 0\le z\le 9.
Portanto, para cada z fixo com 0\le z\le 9, os valores de r na região pedida vão de r=\tfrac{z}{3} (sobre o cone) até r=3 (interior do cilindro). O ângulo \theta percorre todo o círculo [0,2\pi].

Passo 4

Escrevemos o volume V como integral tripla em coordenadas cilíndricas:
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=0}^{9}\int_{r=z/3}^{3} r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}\theta.
Explico passo a passo a avaliação:
  • Integramos primeiro em r:
\int_{r=z/3}^{3} r\,\mathrm{d}r = \left.\tfrac{1}{2}r^{2}\right|_{r=z/3}^{3} = \tfrac{1}{2}\big(9 - (z/3)^{2}\big) = \tfrac{1}{2}\Big(9 - \tfrac{z^{2}}{9}\Big).
Posso simplificar essa expressão para cálculo:
\tfrac{1}{2}\Big(9 - \tfrac{z^{2}}{9}\Big)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{81-z^{2}}{9}=\tfrac{81-z^{2}}{18}.
  • Agora integro em \theta (fator 2\pi) e em z:
V = \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\;\int_{0}^{9}\tfrac{81-z^{2}}{18}\,\mathrm{d}z =2\pi\cdot\tfrac{1}{18}\int_{0}^{9}(81-z^{2})\,\mathrm{d}z =\tfrac{\pi}{9}\int_{0}^{9}(81-z^{2})\,\mathrm{d}z.
  • Calculo a integral em z:
\int_{0}^{9}(81-z^{2})\,\mathrm{d}z = \big[81z - \tfrac{1}{3}z^{3}\big]_{0}^{9} =81\cdot 9 - \tfrac{1}{3}\cdot 9^{3} =729 - \tfrac{729}{3}=729-243=486.
  • Portanto
V = \tfrac{\pi}{9}\cdot 486 = 54\pi.
Comentário final amistoso: deu um número bonitinho 54\pi. Bom resultado!

Passo 5

Reescrevemos as desigualdades usando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}:
x^{2}+y^{2}\le z \Longleftrightarrow r^{2}\le z \quad(\text{paraboloide } z=r^{2}),
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 2 \Longleftrightarrow r^{2}+z^{2}\le 2 \quad(\text{esfera de raio }\sqrt{2}).
Também temos z\ge0.
Para visualizar a interseção: onde paraboloide e esfera se encontram: substituindo z=r^{2} na esfera,
r^{2} + (r^{2})^{2} = 2 \Longrightarrow r^{4}+r^{2}-2=0.
Colocando u=r^{2} obtemos u^{2}+u-2=0 que fatoriza como (u-1)(u+2)=0. Como u=r^{2}\ge0 fica u=1, logo r^{2}=1\Rightarrow r=1 e então z=r^{2}=1. Assim a curva de interseção fica no círculo r=1, z=1.
Conclusão sobre projeção no plano xy: a projeção de B é o disco r\le 1 (porque fora desse disco o paraboloide já fica acima do ponto máximo compatível com a esfera).

Passo 6

Para coordenadas cartesianas usamos a projeção no plano xy: o disco de raio 1. Então os extremos são:
x\in[-1,1],\qquad y\in\Big[-\sqrt{1-x^{2}},\;\sqrt{1-x^{2}}\Big],
e, para cada (x,y) nessa projeção,
z\in\big[\,x^{2}+y^{2},\;\sqrt{2-(x^{2}+y^{2})}\,\big].
Assim a integral iterada em cartesianas (escrita explicitamente) é
\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{z=x^{2}+y^{2}}^{\sqrt{2-(x^{2}+y^{2})}} z\;\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.

Passo 7

Em coordenadas cilíndricas a descrição fica muito mais simples: \theta\in[0,2\pi], r\in[0,1] (projeção disco), e para cada r,
z\in\big[\,r^{2},\;\sqrt{2-r^{2}}\,\big].
Então a integral iterada em cilíndricas é
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=r^{2}}^{\sqrt{2-r^{2}}} z\; r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
Expliquei antes por que aparece o fator r (Jacobian).

Passo 8

Agora expressar as superfícies em esféricas:
  • Esfera: \rho=\sqrt{2}.
  • Paraboloide z=r^{2} em esféricas: com z=\rho\cos\varphi e r=\rho\sin\varphi temos
\rho\cos\varphi = (\rho\sin\varphi)^{2} = \rho^{2}\sin^{2}\varphi.
Se \rho>0 podemos escrever a equação da superfície como
\rho = \frac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}.
A interseção com a esfera \rho=\sqrt{2} ocorre quando
\sqrt{2} = \frac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}.
Para encontrar o ângulo de interseção observe que o ponto de interseção já conhecido tem (r,z)=(1,1) então \rho=\sqrt{2} e \cos\varphi = z/\rho = 1/\sqrt{2} portanto \varphi=\pi/4. Isso confirma que a superfície paraboloide em termos de \rho atinge \rho=\sqrt{2} em \varphi=\pi/4.
Portanto, em esféricas a região B é descrita por:
\theta\in[0,2\pi],\qquad \varphi\in\big[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\big],
e para cada \varphi o \rho varia de
\rho_{\text{parab}}(\varphi)=\frac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}\quad\text{(limite inferior)}
até a esfera \rho=\sqrt{2} (limite superior). Assim a integral iterada em esféricas é
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=\pi/4}^{\pi/2}\int_{\rho=\frac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}}^{\sqrt{2}} (\rho\cos\varphi)\;\rho^{2}\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta.
Observação: a função integranda é z=\rho\cos\varphi e multiplicamos pelo jacobiano \rho^{2}\sin\varphi.

Passo 9

Entre cartesianas, cilíndricas e esféricas, a forma mais simples para calcular \iiint_{B} z\,\mathrm{d}V é coordenadas cilíndricas porque:
  • a desigualdade x^{2}+y^{2}\le z vira z\ge r^{2};
  • a esfera é z\le\sqrt{2-r^{2}};
  • a projeção no plano xy é o disco r\le1.
    Portanto calcularemos usando a integral cilíndrica já escrita no Passo 7.

Passo 10

Escrevo a integral e procedo com as integrações na ordem z, r, \theta:
I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{r^{2}}^{\sqrt{2-r^{2}}} z\; r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
Integro primeiro em z:
\int_{z=r^{2}}^{\sqrt{2-r^{2}}} z\,\mathrm{d}z = \left.\tfrac{1}{2}z^{2}\right|_{r^{2}}^{\sqrt{2-r^{2}}} = \tfrac{1}{2}\Big(2-r^{2} - r^{4}\Big).
Multiplicando pelo fator r que estava fora:
r\cdot \tfrac{1}{2}\big(2-r^{2}-r^{4}\big)=\tfrac{1}{2}\big(2r - r^{3} - r^{5}\big).
Agora integro em r de 0 a 1 e em seguida em \theta:
I = \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \;\int_{0}^{1}\tfrac{1}{2}\big(2r - r^{3} - r^{5}\big)\,\mathrm{d}r =2\pi\cdot \tfrac{1}{2} \int_{0}^{1} (2r - r^{3} - r^{5})\,\mathrm{d}r = \pi \int_{0}^{1} (2r - r^{3} - r^{5})\,\mathrm{d}r.
Calculo a integral em r:
\int_{0}^{1} (2r - r^{3} - r^{5})\,\mathrm{d}r = \Big[ r^{2} - \tfrac{1}{4}r^{4} - \tfrac{1}{6}r^{6}\Big]_{0}^{1} = 1 - \tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{6}.
Somando as frações com denominador comum 12:
1 - \tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{6} = \tfrac{12-3-2}{12}=\tfrac{7}{12}.
Finalmente
I = \pi\cdot \tfrac{7}{12} = \tfrac{7\pi}{12}.

Resposta

\text{Volume (cilindro externo ao cone)} = 54\pi
\text{Integral em cartesianas: } \displaystyle \int_{x=-1}^{1}\int_{y=-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{z=x^{2}+y^{2}}^{\sqrt{2-(x^{2}+y^{2})}} z\;\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
\text{Integral em cilíndricas: } \displaystyle \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=r^{2}}^{\sqrt{2-r^{2}}} z\; r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\thetaí
\text{Integral em esféricas: } \displaystyle \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=\pi/4}^{\pi/2}\int_{\rho=\frac{\cos\varphi}{\sin^{2}\varphi}}^{\sqrt{2}} (\rho\cos\varphi)\,\rho^{2}\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\thetaé
\displaystyle \iiint_{B} z\,\mathrm{d}V = \tfrac{7\pi}{12}

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