Calcule o volume do sólido delimitado pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelo plano z=5-x acima do plano z=0, usando coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=4, pelo plano z=5-x e por z=0. O conteúdo é integração tripla em coordenadas cilíndricas. Vamos usar x=rcostheta, y=rsintheta e dV=r,dz,dr,dtheta, determinando corretamente os limites de integração.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, o cilindro vira 0<= r<=2 e 0<=theta<=2pi. O plano superior é z=5-x=5-rcostheta e o inferior é z=0. Assim
V=integral0^2piintegral0^2integral0^5 - rcosthetar,dz,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em z:
integral0^5 - rcosthetar,dz = rl[zr]0^5 - rcostheta = r(5 - rcostheta)
O volume fica então
V=integral0^2piintegral0^2l(5r - r^2costhetar),dr,dtheta

Passo 4

Agora integramos em r:
integral0^2(5r - r^2costheta),dr = l[tfrac5r^22 - tfracr^33costhetar]0^2 = 10 - tfrac83costheta

Passo 5

Finalmente integramos em theta:
V=integral0^2pil(10 - tfrac83costhetar),dtheta = 10cdot2pi - tfrac83[sintheta]0^2pi = 20pi

Resposta

20pi

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