Obtenha, se houver, os pontos de máximos, mínimos ou sela das superfícies das funções f: R^2 R, z=f(x, y), utilizando o critério da segunda derivada.
z=19 x^4-x^2 y+3 y^3-x^2+4

Passo 1

Estamos lidando com a função f: R^2to R, dada por z=f(x,y)=tfrac19x^4 - x^2y +3y^3 - x^2 +4 O que precisamos é encontrar todos os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e, em seguida, usar o critério da segunda derivada (Hessiana) para determinar se cada ponto é máximo, mínimo ou sela.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Para isso lembramos que partial f/partial x deriva cada termo de f em relação a x, tratando y como constante, e de forma análoga para partial f/partial y. Obtemos:
fx = 49x^3 -2x,y -2x = 49x^3 -2x(y+1),
fy = -x^2 +9y^2
Os pontos críticos satisfazem o sistema fx=0 e fy=0.

Passo 3

Para resolver o sistema
49x^3 -2x(y+1)=0, -x^2 +9y^2=0,
observamos em fy=0 que 9y^2 = x^2, ou seja y=pmtfracx3. Substituindo em fx=0, fatoramos x:
xl(tfrac49x^2 -2(y+1)r)=0
Daí surgem duas situações:
  1. x=0 implica y=0.
  2. tfrac49x^2 =2(y+1).
    Resolvendo para cada caso y=pm x/3 achamos mais quatro soluções:
(x,y)=(3,1),;(-3,1),;(3/2,-1/2),;(-3/2,-1/2)
Logo, no total temos cinco pontos críticos:
(0,0),;(3,1),;(-3,1),;(3/2,-1/2),;(-3/2,-1/2)

Passo 4

Agora vamos ao critério da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas parciais:
fxx = 43x^2 -2(y+1), fyy=18y, fxy=fyx=-2x
Formamos o discriminante da Hessiana em cada ponto:
D = fxxfyy - (fxy)^2

Passo 5

Vamos avaliar fxx, fyy e D em cada ponto crítico e usar: se D>0 e fxx>0 é mínimo; se D>0 e fxx<0 é máximo; se D<0 é sela; se D=0 o teste não classifica.
  1. Em (0,0): fxx=-2,;fyy=0,;D=0 → teste inconclusivo (por análise de direções nota-se comportamento tipo sela).
  2. Em (3,1) e (-3,1): fxx=8,;fyy=18,;fxy=mp6 D=108>0 e fxx=8>0 → mínimos locais.
  3. Em (3/2,-1/2) e (-3/2,-1/2): fxx=2,;fyy=-9,;D=-27<0 → pontos de sela.

Passo 6

Com isso, classificamos todos os pontos críticos conforme o critério da segunda derivada.

Resposta

Pontos de mínimo local: (3,1) e (−3,1)
Pontos de sela: (0,0), (3/2,−1/2) e (−3/2,−1/2)
Não há pontos de máximo local.

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