Obtenha, se houver, os pontos de máximos, mínimos ou sela das superfícies das funções
, utilizando o critério da segunda derivada.
Passo 1
Estamos lidando com a função
, dada por
O que precisamos é encontrar todos os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e, em seguida, usar o critério da segunda derivada (Hessiana) para determinar se cada ponto é máximo, mínimo ou sela.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Para isso lembramos que
deriva cada termo de
em relação a
, tratando
como constante, e de forma análoga para
. Obtemos:
Os pontos críticos satisfazem o sistema
Passo 3
Para resolver o sistema
observamos em
Daí surgem duas situações:
-
implica . -
.
Resolvendo para cada casoachamos mais quatro soluções:
Logo, no total temos cinco pontos críticos:
Passo 4
Agora vamos ao critério da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas parciais:
Formamos o discriminante da Hessiana em cada ponto:
Passo 5
Vamos avaliar
,
e
em cada ponto crítico e usar: se
e
é mínimo; se
e
é máximo; se
é sela; se
o teste não classifica.
- Em
: → teste inconclusivo (por análise de direções nota-se comportamento tipo sela). - Em
e : → e → mínimos locais. - Em
e : → pontos de sela.
Passo 6
Com isso, classificamos todos os pontos críticos conforme o critério da segunda derivada.
Resposta
Pontos de mínimo local: (3,1) e (−3,1)
Pontos de sela: (0,0), (3/2,−1/2) e (−3/2,−1/2)
Não há pontos de máximo local.
Pontos de sela: (0,0), (3/2,−1/2) e (−3/2,−1/2)
Não há pontos de máximo local.