Seja a função f(x, y)=lllx y^2x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) beta+5 & se & (x, y)=(0,0)
Sabendo que beta in R, determine o valor de beta para o qual se pode afirmar que f seja contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado apresenta a função f definida por partes, e queremos saber para qual β ∈ ℝ ela é contínua em (0,0).
A função é dada por:
f(x,y)= x y^2x^2+y^2, & (x,y)neq(0,0), beta+5, & (x,y)=(0,0)
O conteúdo aqui é continuidade de função de duas variáveis, então vamos precisar calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0).

Passo 2

Para que f seja contínua em (0,0), a definição de continuidade exige que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=beta+5

Passo 3

Vamos calcular o limite usando coordenadas polares: faça x=r cosθ e y=r sinθ. Então
f(r,θ)=(rcostheta)(r^2sin^2theta)r^2=rcosthetasin^2theta
Como r→0, temos r cosθ sin²θ → 0 independentemente de θ, portanto
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Passo 4

Para garantir continuidade, igualamos o valor no ponto ao limite encontrado:
beta+5=0
Logo, resolvendo para β, obtemos β=−5.

Resposta

beta=-5

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