Seja a função
Sabendo que
, determine o valor de
para o qual se pode afirmar que f seja contínua em
.
Sabendo que
Passo 1
O enunciado apresenta a função f definida por partes, e queremos saber para qual β ∈ ℝ ela é contínua em (0,0).
A função é dada por:
O conteúdo aqui é continuidade de função de duas variáveis, então vamos precisar calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0).
Passo 2
Para que f seja contínua em (0,0), a definição de continuidade exige que
Passo 3
Vamos calcular o limite usando coordenadas polares: faça x=r cosθ e y=r sinθ. Então
Como r→0, temos r cosθ sin²θ → 0 independentemente de θ, portanto
Passo 4
Para garantir continuidade, igualamos o valor no ponto ao limite encontrado:
Logo, resolvendo para β, obtemos β=−5.