Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
integral0^8 integralraiz[3]y^2 f(x, y) d x d y

Passo 1

Estamos com a integral integral0^8integralraiz[3]y^2f(x,y),dx,dy. O conteúdo aqui é mudança de ordem de integração em integrais duplas, e para isso precisamos esboçar a região no plano (x,y) e depois reescrever os limites trocando dx por dy e vice-versa.

Passo 2

Os limites originais dizem que 0<= y<=8 e, para cada y, raiz[3]y<= x<= 2. A condição x>=raiz[3]y equivale a y<= x^3, e como y>=0 obtemos também x>=0. Portanto a região R pode ser descrita pelas desigualdades
0<= x<= 2, 0<= y<= x^3

Passo 3

Para esboçar R, desenhe a curva y=x^3 de x=0 até x=2, o eixo y=0 e a reta x=2 de y=0 até y=8. A região fica entre o eixo, a curva e a reta, preenchida abaixo de y=x^3 e à esquerda de x=2.

Passo 4

Como na descrição invertida vemos que x vai de 0 a 2 e, para cada x, y vai de 0 até x^3, a integral com ordem trocada fica
integral0^2integral0^x^3f(x,y),dy,dx

Resposta

integral0^2integral0^x^3f(x,y),dy,dx

Exercícios relacionados