O disco D_{1} de centro ( 0,0 ) e raio 1 encontra-se carregado, com densidade de carga \varrho(x, y) proporcional ao quadrado da distância de ( x, y ) à origem. Calcule a carga total Q.

Passo 1

O enunciado dá o disco
D_1 = \{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\}
e diz que a densidade de carga é proporcional ao quadrado da distância à origem. Isso significa que
\varrho(x,y)=k\,(x^2+y^2)
para alguma constante de proporcionalidade k. O que se pede é a carga total
Q=\iint_{D_1}\varrho(x,y)\,dA.

Passo 2

Para simplificar o cálculo, usamos coordenadas polares, em que
x^2+y^2=r^2, \quad dA=r\,dr\,d\theta,
e o domínio D_1 fica 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi. Assim
Q =\iint_{D_1}k\,r^2\,dA =k\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}r^2\,(r\,dr\,d\theta) =k\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}r^3\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calculemos separadamente as integrais em r e \theta:
\int_{0}^{1}r^3\,dr =\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{4},
\int_{0}^{2\pi}d\theta =2\pi.
Logo
Q =k\;\biggl(2\pi\biggr)\;\biggl(\tfrac14\biggr) =\frac{\pi\,k}{2}.

Resposta

Q=\frac{\pi\,k}{2},
sendo k a constante de proporcionalidade na densidade \varrho(x,y)=k(x^2+y^2).

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