Calcule o volume do sólido
delimitado pela região
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido
que está limitado pelas superfícies
. Isso envolve cálculo de integrais múltiplas e um pouco de geometria analítica. Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar os cálculos, já que temos simetria circular nas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que delimitam o sólido
. A parte de baixo é a superfície
, que é um paraboloide que abre para cima. A parte de cima é
, outro paraboloide, mas que abre para baixo.
Passo 3
Para encontrar o volume entre essas duas superfícies, precisamos determinar a região no plano
onde essas duas superfícies se interceptam. Isso ocorre quando
.
Passo 4
Vamos resolver a equação
:
Isso nos mostra que a interseção ocorre em um círculo de raio 3 no plano
.
Passo 5
Agora, vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Em coordenadas polares, temos:
O raio
varia de 0 a 3, e o ângulo
varia de 0 a
.
Passo 6
Expressando as superfícies em coordenadas polares:
Passo 7
O volume
do sólido
pode ser calculado pela integral dupla da diferença entre as superfícies superior e inferior:
Onde
é a região circular
.
Passo 8
Substituindo em coordenadas polares:
O termo
é o fator de Jacobiano das coordenadas polares.
Passo 9
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Passo 10
Agora, integração em relação a
:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.