Calcule o volume do sólido E delimitado pela região 2 x^2+2 y^2 <= z <= 63-5 x^2-5 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido E que está limitado pelas superfícies 2x^2 + 2y^2 <= z <= 63 - 5x^2 - 5y^2. Isso envolve cálculo de integrais múltiplas e um pouco de geometria analítica. Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar os cálculos, já que temos simetria circular nas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que delimitam o sólido E. A parte de baixo é a superfície z = 2x^2 + 2y^2, que é um paraboloide que abre para cima. A parte de cima é z = 63 - 5x^2 - 5y^2, outro paraboloide, mas que abre para baixo.

Passo 3

Para encontrar o volume entre essas duas superfícies, precisamos determinar a região no plano xy onde essas duas superfícies se interceptam. Isso ocorre quando 2x^2 + 2y^2 = 63 - 5x^2 - 5y^2.

Passo 4

Vamos resolver a equação 2x^2 + 2y^2 = 63 - 5x^2 - 5y^2:
2x^2 + 2y^2 + 5x^2 + 5y^2 = 63 7x^2 + 7y^2 = 63 x^2 + y^2 = 9
Isso nos mostra que a interseção ocorre em um círculo de raio 3 no plano xy.

Passo 5

Agora, vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Em coordenadas polares, temos:
x = rcostheta y = rsintheta x^2 + y^2 = r^2
O raio r varia de 0 a 3, e o ângulo theta varia de 0 a 2pi.

Passo 6

Expressando as superfícies em coordenadas polares:
zinferior = 2x^2 + 2y^2 = 2r^2 zsuperior = 63 - 5x^2 - 5y^2 = 63 - 5r^2

Passo 7

O volume V do sólido E pode ser calculado pela integral dupla da diferença entre as superfícies superior e inferior:
V = integral duplaD (zsuperior - zinferior) , dA
Onde D é a região circular x^2 + y^2 <= 9.

Passo 8

Substituindo em coordenadas polares:
V = integral0^2pi integral0^3 (63 - 5r^2 - 2r^2) r , dr , dtheta V = integral0^2pi integral0^3 (63 - 7r^2) r , dr , dtheta
O termo r é o fator de Jacobiano das coordenadas polares.

Passo 9

Vamos calcular a integral interna em relação a r:
integral0^3 (63r - 7r^3) , dr = [ 632r^2 - 74r^4 ]0^3 = ( 632 times 9 - 74 times 81 ) = ( 5672 - 5674 ) = 5674

Passo 10

Agora, integração em relação a theta:
V = integral0^2pi 5674 , dtheta = 5674 times 2pi = 5672 pi

Resposta

O volume do sólido E é 5672 pi unidades cúbicas.

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