Resolva a integral dupla abaixo, onde
é a região triangular delimitada pelos pontos
e
.
Passo 1
Enunciado: Precisamos resolver a integral dupla
onde
é a região triangular delimitada pelos pontos
,
e
.
Conteúdo: Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões no plano.
O que precisamos: Identificar os limites de integração para
e
, entender a forma da região
, e calcular a integral da função
sobre essa região.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o triângulo formado pelos pontos
,
e
no plano
.
- Ponto
- Ponto
- Ponto
Desenhando esses pontos e conectando-os, temos um triângulo com base no eixo
de
a
, e até
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo.
Entre
e
:
Coordenadas de
e
.
A equação da reta
é da forma:
Calculando o coeficiente angular
:
Calculando
:
Então, a equação da reta
é:
Passo 4
Entre
e
:
Coordenadas de
e
.
Como ambos os pontos têm
, essa é uma reta vertical:
Passo 5
Entre
e
:
Coordenadas de
e
.
Calculando o coeficiente angular
:
Calculando
:
Então, a equação da reta
é:
Passo 6
Agora, vamos determinar os limites de integração.
A região
está limitada entre
e
. Para cada valor de
nesse intervalo,
varia entre a reta
(
) e a reta
(
).
Portanto, os limites são:
Passo 7
Configurando a integral dupla com esses limites:
Passo 8
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Calculando:
Passo 9
Substituindo na integral em
x :
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 10
Agora, integramos termo a termo de
0 a
1 :
Calculando a integral:
Substituindo
x = 1 e
x = 0 :
Resposta
O valor da integral dupla é: