Resolva a integral dupla abaixo, onde D é a região triangular delimitada pelos pontos A=(0,-1), B=(1,0) e C=(0,2).
integralD integral(x^2+y^2) d A

Passo 1

Enunciado: Precisamos resolver a integral dupla
integralD (x^2 + y^2) , dA,
onde D é a região triangular delimitada pelos pontos A=(0,-1), B=(1,0) e C=(0,2).
Conteúdo: Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões no plano.
O que precisamos: Identificar os limites de integração para x e y, entender a forma da região D, e calcular a integral da função x^2 + y^2 sobre essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o triângulo formado pelos pontos A, B e C no plano xy.
  • Ponto A = (0, -1)
  • Ponto B = (1, 0)
  • Ponto C = (0, 2)
Desenhando esses pontos e conectando-os, temos um triângulo com base no eixo y de y = -1 a y = 2, e até x = 1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo.
Entre A e B:
Coordenadas de A = (0, -1) e B = (1, 0).
A equação da reta AB é da forma:
y = m x + b
Calculando o coeficiente angular m:
m = 0 - (-1)1 - 0 = 1
Calculando b:
-1 = 1 cdot 0 + b Rightarrow b = -1
Então, a equação da reta AB é:
y = x - 1

Passo 4

Entre A e C:
Coordenadas de A = (0, -1) e C = (0, 2).
Como ambos os pontos têm x = 0, essa é uma reta vertical:
x = 0

Passo 5

Entre B e C:
Coordenadas de B = (1, 0) e C = (0, 2).
Calculando o coeficiente angular m:
m = 2 - 00 - 1 = -2
Calculando b:
0 = -2 cdot 1 + b Rightarrow b = 2
Então, a equação da reta BC é:
y = -2x + 2

Passo 6

Agora, vamos determinar os limites de integração.
A região D está limitada entre x = 0 e x = 1. Para cada valor de x nesse intervalo, y varia entre a reta AB ( y = x - 1) e a reta BC ( y = -2x + 2).
Portanto, os limites são:
0 <= x <= 1
x - 1 <= y <= -2x + 2

Passo 7

Configurando a integral dupla com esses limites:
integral0^1 integralx - 1^-2x + 2 (x^2 + y^2) , dy , dx

Passo 8

Vamos integrar primeiro em relação a y:
integralx - 1^-2x + 2 (x^2 + y^2) , dy = x^2(y) gr|x - 1^-2x + 2 + 13y^3 gr|x - 1^-2x + 2
Calculando:
x^2(-2x + 2 - (x - 1)) = x^2(-3x + 3)
13 [(-2x + 2)^3 - (x - 1)^3]

Passo 9

Substituindo na integral em x:
integral0^1 [ -3x^3 + 3x^2 + 13 ( (-2x + 2)^3 - (x - 1)^3 ) ] dx
Simplificando a expressão dentro da integral:
-3x^3 + 3x^2 + 13(-8x^3 + 24x^2 - 24x + 8 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1)
= -3x^3 + 3x^2 + 13(-9x^3 + 27x^2 - 27x + 9)
= -3x^3 + 3x^2 - 3x^3 + 9x^2 - 9x + 3
= -6x^3 + 12x^2 - 9x + 3

Passo 10

Agora, integramos termo a termo de 0 a 1:
integral0^1 (-6x^3 + 12x^2 - 9x + 3) , dx
Calculando a integral:
-6 cdot x^44 + 12 cdot x^33 - 9 cdot x^22 + 3x gr|0^1
= -32x^4 + 4x^3 - 92x^2 + 3x gr|0^1
Substituindo x = 1 e x = 0:
( -32(1) + 4(1) - 92(1) + 3(1) ) - ( 0 ) = -32 + 4 - 92 + 3
= ( -122 + 7 ) = -6 + 7 = 1

Resposta

O valor da integral dupla é:
1

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