a) Deseja-se construir uma caixa, retangular com tampa, cujo volume é de
, sendo que a quantidade de material para a sua fabricação deve ser mínima.
Passo 1
O enunciado pede para construir uma caixa retangular com tampa de volume fixo de
minimizando a quantidade de material, ou seja, a superfície. Vamos usar otimização com restrição (multiplicadores de Lagrange) para resolver.
Passo 2
Definimos as variáveis:
,
e
são as arestas da base e a altura da caixa, todas em cm. O volume é restrito por
. A área da superfície, que queremos minimizar, é
Passo 3
Formamos a função de Lagrange
e impomos as condições de otimalidade
Passo 4
Dividindo a primeira pela segunda equação obtemos
. De forma análoga, comparando segunda e terceira, concluímos
. Logo,
.
Passo 5
Substituindo na restrição
segue
cm.
Passo 6
Calculamos então a área mínima substituindo
cm em
:
Resposta
A caixa de menor quantidade de material é um cubo de aresta 14 cm, com área mínima de 1176 cm².