a) Deseja-se construir uma caixa, retangular com tampa, cujo volume é de 2744 cm^3, sendo que a quantidade de material para a sua fabricação deve ser mínima.

Passo 1

O enunciado pede para construir uma caixa retangular com tampa de volume fixo de 2744,cm^3 minimizando a quantidade de material, ou seja, a superfície. Vamos usar otimização com restrição (multiplicadores de Lagrange) para resolver.

Passo 2

Definimos as variáveis: x, y e z são as arestas da base e a altura da caixa, todas em cm. O volume é restrito por xyz=2744. A área da superfície, que queremos minimizar, é
A(x,y,z)=2l(xy+xz+yzr)

Passo 3

Formamos a função de Lagrange L(x,y,z,lambda)=2(xy+xz+yz)-lambda(xyz-2744) e impomos as condições de otimalidade
partialLpartial x=2(y+z)-lambda yz=0,partialLpartial y=2(x+z)-lambda xz=0,partialLpartial z=2(x+y)-lambda xy=0,partialLpartiallambda=xyz-2744=0

Passo 4

Dividindo a primeira pela segunda equação obtemos x=y. De forma análoga, comparando segunda e terceira, concluímos y=z. Logo, x=y=z.

Passo 5

Substituindo na restrição x^3=2744 segue x=raiz[3]2744=14 cm.

Passo 6

Calculamos então a área mínima substituindo x=y=z=14 cm em A(x,y,z):
Amin=2l(14cdot14+14cdot14+14cdot14r)=2times3times196=1176,cm^2

Resposta

A caixa de menor quantidade de material é um cubo de aresta 14 cm, com área mínima de 1176 cm².

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