Calcule o volume do sólido delimitado superiormente pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1 e inferiormente pelas superfícies esféricas:
\begin{aligned} & x^{2}+y^{2}+(z+1)^{2} \geqslant 1 \\\ & x^{2}+y^{2}\left(z-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \geqslant \frac{1}{2} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que é limitado superiormente pela esfera unitária e inferiormente por duas superfícies esféricas. Informações dadas (reformuladas para notação consistente):
  • Esfera superior: \;x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1\; (ou seja, a superfície superior é z=\sqrt{1-r^{2}} em coordenadas cilíndricas).
  • Primeira superfície inferior: \;x^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}\ge 1\;. Esta é a região exterior à esfera centrada em (0,0,-1) de raio 1.
  • Segunda superfície inferior: \;x^{2}+y^{2}+(z-\tfrac{1}{\sqrt{2}})^{2}\ge \tfrac{1}{2}\;. Esta é a região exterior à esfera centrada em (0,0,\tfrac{1}{\sqrt{2}}) de raio \tfrac{1}{\sqrt{2}}.
O sólido procurado é o conjunto de pontos que estão dentro da esfera unitária e, ao mesmo tempo, satisfazem ambas as desigualdades inferiores (ou seja, estão fora ou na superfície das duas esferas menores). A tarefa: calcular o volume desse conjunto.

Passo 2

Escolha do método e coordenadas: as três superfícies são todas esferas com centros sobre o eixo z, portanto o sólido é rotacionalmente simétrico em torno do eixo z. Coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) são naturais:
  • x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; z=z.
  • O volume elementar é dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Na esfera unitária a coordenada z superior, para dado r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, é
z_{\text{top}}(r)=\sqrt{1-r^{2}}.
As duas desigualdades inferiores transformam-se em condições sobre z para cada r; vamos encontrar, para cada r, o limite inferior z_{\text{bot}}(r) que o sólido exige (será o máximo das duas superfícies inferiores relevantes).

Passo 3

Converter as desigualdades para expressões em r e z e isolar z.
  1. Primeira superfície (centro em (0,0,-1), raio 1):
r^{2}+(z+1)^{2}\ge 1 \quad\Longleftrightarrow\quad (z+1)^{2}\ge 1-r^{2}.
Como estamos dentro da esfera unitária \,z\le \sqrt{1-r^{2}} (e z\ge -\sqrt{1-r^{2}}), a parte relevante da desigualdade dá
z \ge -1+\sqrt{1-r^{2}}.
Portanto a primeira superfície inferior impõe, quando ativa, o limite
z \ge z_{1}(r):=-1+\sqrt{1-r^{2}},\qquad\text{válido para }0\le r\le 1.á
  1. Segunda superfície (centro (0,0,\tfrac{1}{\sqrt{2}}), raio \tfrac{1}{\sqrt{2}}):
r^{2}+\Bigl(z-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)^{2}\ge \tfrac{1}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad \Bigl(z-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)^{2}\ge \tfrac{1}{2}-r^{2}.
  • Se \tfrac{1}{2}-r^{2}<0 (isto é, r>\tfrac{1}{\sqrt{2}}), então a desigualdade é sempre verdadeira e não impõe restrição sobre z.
  • Se 0\le r\le \tfrac{1}{\sqrt{2}}, então \sqrt{\tfrac{1}{2}-r^{2}} é real e as soluções são
z \le \tfrac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{\tfrac{1}{2}-r^{2}} \quad\text{ou}\quad z \ge \tfrac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{\tfrac{1}{2}-r^{2}}.
Dentro da esfera unitária a parte alta z\ge \tfrac{1}{\sqrt{2}}+\dots fica acima de z_{\text{top}}(r) ou fora do intervalo que vamos integrar, então a parte relevante para formar o limite inferior é a parte baixa
z \le z_{2}^{\text{upper}}(r):=\tfrac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{\tfrac{1}{2}-r^{2}},
interpretação: para estar fora da pequena esfera, o ponto pode estar abaixo desta curva (ou acima da outra ramificação, mas essa última não entra no sólido dentro do teto). Portanto, quando ativa (isto é, para 0\le r\le \tfrac{1}{\sqrt{2}}), a segunda superfície efetivamente exige
z \ge z_{2}(r):=\tfrac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{\tfrac{1}{2}-r^{2}}
no sentido do limite inferior do sólido (note que z deve estar acima de z_{2} para não estar dentro da pequena esfera; escrevemos aqui como limite inferior do conjunto de pontos permitidos).
  1. Comparação das duas curvas inferiores:
  • Em r=0: z_{1}(0)=-1+\sqrt{1}=0 e z_{2}(0)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{\tfrac{1}{2}}=0. As duas coincidem em r=0.
  • Para 0<r<\tfrac{1}{\sqrt{2}} pode verificar (por monotonicidade das raízes) que z_{2}(r)>z_{1}(r). Assim, para 0\le r\le \tfrac{1}{\sqrt{2}} o limite inferior efetivo é
z_{\text{bot}}(r)=z_{2}(r)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{\tfrac{1}{2}-r^{2}}.
  • Para \tfrac{1}{\sqrt{2}}<r\le 1 a segunda superfície não impõe restrição (a raiz fica imaginária), então o limite inferior é dado pela primeira superfície:
z_{\text{bot}}(r)=z_{1}(r)=-1+\sqrt{1-r^{2}}.
Resumo dos limites em função de r:
z_{\text{top}}(r)=\sqrt{1-r^{2}},\qquad z_{\text{bot}}(r)=\begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{2}-r^{2}}, & 0\le r\le \dfrac{1}{\sqrt{2}},\\[6pt] -1+\sqrt{1-r^{2}}, & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\le r\le 1. \end{cases}]

Passo 4

Montagem do integral do volume em coordenadas cilíndricas:
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{z_{\text{bot}}(r)}^{z_{\text{top}}(r)} r\;dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{1}\bigl(z_{\text{top}}(r)-z_{\text{bot}}(r)\bigr)\,r\,dr.
Usando a expressão em partes para z_{\text{bot}}, separamos o integral em duas parcelas:
V = 2\pi\left[ \int_{0}^{\tfrac{1}{\sqrt{2}}}\Bigl(\sqrt{1-r^{2}}-\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{\tfrac{1}{2}-r^{2}}\Bigr)\Bigr)r\,dr +\int_{\tfrac{1}{\sqrt{2}}}^{1}\Bigl(\sqrt{1-r^{2}}-\bigl(-1+\sqrt{1-r^{2}}\bigr)\Bigr)r\,dr \right].
Simplificar a segunda integral (entre r=\tfrac{1}{\sqrt{2}} e 1):
\sqrt{1-r^{2}}-(-1+\sqrt{1-r^{2}})=1,
logo
\int_{\tfrac{1}{\sqrt{2}}}^{1} 1\cdot r\,dr = \frac{1}{2}\bigl(1^{2}-(\tfrac{1}{\sqrt{2}})^{2}\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(1-\tfrac{1}{2}\bigr)=\frac{1}{4}.
Portanto a contribuição desta faixa ao volume é 2\pi\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Calcular a primeira integral
I:=\int_{0}^{\tfrac{1}{\sqrt{2}}}\Bigl(\sqrt{1-r^{2}}+\sqrt{\tfrac{1}{2}-r^{2}}-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)r\,dr.
Separemos em termos:
I=\int_{0}^{\tfrac{1}{\sqrt{2}}} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr +\int_{0}^{\tfrac{1}{\sqrt{2}}} r\sqrt{\tfrac{1}{2}-r^{2}}\,dr -\tfrac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\tfrac{1}{\sqrt{2}}} r\,dr.
Usar a primitiva padrão: para a>0,
\int r\sqrt{a-r^{2}}\,dr = -\tfrac{1}{3}(a-r^{2})^{3/2}+C.
Aplicando nos limites:
  1. Com a=1 e limite superior r=\tfrac{1}{\sqrt{2}}:
\int_{0}^{\tfrac{1}{\sqrt{2}}} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr = \frac{1}{3}\Bigl(1^{3/2}-(1-(\tfrac{1}{\sqrt{2}})^{2})^{3/2}\Bigr) = \frac{1}{3}\Bigl(1-(\tfrac{1}{2})^{3/2}\Bigr) = \frac{1}{3}\Bigl(1-\frac{1}{2\sqrt{2}}\Bigr).
  1. Com a=\tfrac{1}{2} e mesmo limite:
\int_{0}^{\tfrac{1}{\sqrt{2}}} r\sqrt{\tfrac{1}{2}-r^{2}}\,dr = \frac{1}{3}\Bigl((\tfrac{1}{2})^{3/2}-0\Bigr) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{6\sqrt{2}}.
  1. Terceiro termo:
\int_{0}^{\tfrac{1}{\sqrt{2}}} r\,dr = \tfrac{1}{2}\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)^{2}=\tfrac{1}{4}, \qquad\text{logo}\qquad \tfrac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\tfrac{1}{\sqrt{2}}} r\,dr = \frac{1}{4\sqrt{2}}.
Somando (1) e (2):
\frac{1}{3}\Bigl(1-\frac{1}{2\sqrt{2}}\Bigr)+\frac{1}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{3} -\frac{1}{6\sqrt{2}}+\frac{1}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{3}.
Então
I=\frac{1}{3}-\frac{1}{4\sqrt{2}}.
A contribuição dessa faixa ao volume é 2\pi I, isto é
2\pi\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{4\sqrt{2}}\Bigr) = \frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{2\sqrt{2}}.

Passo 6

Somando as duas contribuições (faixa 0\le r\le\tfrac{1}{\sqrt{2}} e faixa \tfrac{1}{\sqrt{2}}\le r\le 1) obtemos o volume total:
V = \left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\right)+\frac{\pi}{2} = \pi\!\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) = \pi\!\left(\frac{7}{6}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right).
Se quiser um valor aproximado,
V \approx \pi\Bigl(1{,}1666667-0{,}3535534\Bigr)\approx 0{,}8131133\pi\approx 2{,}554.

Resposta

\displaystyle V=\pi\!\Bigl(\frac{7}{6}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\Bigr)

Exercícios relacionados