O enunciado pede o volume do sólido que é limitado superiormente pela esfera unitária e inferiormente por duas superfícies esféricas. Informações dadas (reformuladas para notação consistente):
Esfera superior: \;x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1\; (ou seja, a superfície superior é z=\sqrt{1-r^{2}} em coordenadas cilíndricas).
Primeira superfície inferior: \;x^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}\ge 1\;. Esta é a região exterior à esfera centrada em (0,0,-1) de raio 1.
Segunda superfície inferior: \;x^{2}+y^{2}+(z-\tfrac{1}{\sqrt{2}})^{2}\ge \tfrac{1}{2}\;. Esta é a região exterior à esfera centrada em (0,0,\tfrac{1}{\sqrt{2}}) de raio \tfrac{1}{\sqrt{2}}.
O sólido procurado é o conjunto de pontos que estão dentro da esfera unitária e, ao mesmo tempo, satisfazem ambas as desigualdades inferiores (ou seja, estão fora ou na superfície das duas esferas menores). A tarefa: calcular o volume desse conjunto.
Passo 2
Escolha do método e coordenadas: as três superfícies são todas esferas com centros sobre o eixo z, portanto o sólido é rotacionalmente simétrico em torno do eixo z. Coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) são naturais:
x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; z=z.
O volume elementar é dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Na esfera unitária a coordenada z superior, para dado r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, é
z_{\text{top}}(r)=\sqrt{1-r^{2}}.
As duas desigualdades inferiores transformam-se em condições sobre z para cada r; vamos encontrar, para cada r, o limite inferior z_{\text{bot}}(r) que o sólido exige (será o máximo das duas superfícies inferiores relevantes).
Passo 3
Converter as desigualdades para expressões em r e z e isolar z.
Se \tfrac{1}{2}-r^{2}<0 (isto é, r>\tfrac{1}{\sqrt{2}}), então a desigualdade é sempre verdadeira e não impõe restrição sobre z.
Se 0\le r\le \tfrac{1}{\sqrt{2}}, então \sqrt{\tfrac{1}{2}-r^{2}} é real e as soluções são
z \le \tfrac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{\tfrac{1}{2}-r^{2}} \quad\text{ou}\quad z \ge \tfrac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{\tfrac{1}{2}-r^{2}}.
Dentro da esfera unitária a parte alta z\ge \tfrac{1}{\sqrt{2}}+\dots fica acima de z_{\text{top}}(r) ou fora do intervalo que vamos integrar, então a parte relevante para formar o limite inferior é a parte baixa
z \le z_{2}^{\text{upper}}(r):=\tfrac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{\tfrac{1}{2}-r^{2}},
interpretação: para estar fora da pequena esfera, o ponto pode estar abaixo desta curva (ou acima da outra ramificação, mas essa última não entra no sólido dentro do teto). Portanto, quando ativa (isto é, para 0\le r\le \tfrac{1}{\sqrt{2}}), a segunda superfície efetivamente exige
z \ge z_{2}(r):=\tfrac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{\tfrac{1}{2}-r^{2}}
no sentido do limite inferior do sólido (note que z deve estar acima de z_{2} para não estar dentro da pequena esfera; escrevemos aqui como limite inferior do conjunto de pontos permitidos).
Comparação das duas curvas inferiores:
Em r=0: z_{1}(0)=-1+\sqrt{1}=0 e z_{2}(0)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{\tfrac{1}{2}}=0. As duas coincidem em r=0.
Para 0<r<\tfrac{1}{\sqrt{2}} pode verificar (por monotonicidade das raízes) que z_{2}(r)>z_{1}(r). Assim, para 0\le r\le \tfrac{1}{\sqrt{2}} o limite inferior efetivo é
Para \tfrac{1}{\sqrt{2}}<r\le 1 a segunda superfície não impõe restrição (a raiz fica imaginária), então o limite inferior é dado pela primeira superfície:
Montagem do integral do volume em coordenadas cilíndricas:
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{z_{\text{bot}}(r)}^{z_{\text{top}}(r)} r\;dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{1}\bigl(z_{\text{top}}(r)-z_{\text{bot}}(r)\bigr)\,r\,dr.
Usando a expressão em partes para z_{\text{bot}}, separamos o integral em duas parcelas:
V = 2\pi\left[ \int_{0}^{\tfrac{1}{\sqrt{2}}}\Bigl(\sqrt{1-r^{2}}-\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{\tfrac{1}{2}-r^{2}}\Bigr)\Bigr)r\,dr +\int_{\tfrac{1}{\sqrt{2}}}^{1}\Bigl(\sqrt{1-r^{2}}-\bigl(-1+\sqrt{1-r^{2}}\bigr)\Bigr)r\,dr \right].
Simplificar a segunda integral (entre r=\tfrac{1}{\sqrt{2}} e 1):