Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
(a) \frac{2}{7}+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{7}\right)^{2}+\frac{1}{3}\left(\frac{2}{7}\right)^{3}+\cdots+\frac{1}{n}\left(\frac{2}{7}\right)^{n}+\cdots

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. A série dada é
\frac{2}{7}+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{7}\right)^{2}+\frac{1}{3}\left(\frac{2}{7}\right)^{3}+\cdots+\frac{1}{n}\left(\frac{2}{7}\right)^{n}+\cdots
ou seja, os termos gerais são
a_n=\frac{1}{n}\left(\frac{2}{7}\right)^{n},\qquad n=1,2,3,\dots
A pergunta é: esta série converge ou diverge? (Se convergir, é interessante saber também se converge absolutamente e, se possível, calcular a soma.)

Passo 2

Observação sobre os termos: todos os a_n são não-negativos porque \dfrac{1}{n}>0 e \left(\dfrac{2}{7}\right)^{n}>0. Escrever explicitamente o termo geral ajuda a escolher um teste de convergência:
a_n=\frac{(2/7)^n}{n}.

Passo 3

Usar o teste da comparação simples (para séries de termos não-negativos).
  • Lembrete do teste da comparação: se 0\le a_n\le b_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
  • Aqui note que para todo n\ge1 vale \dfrac{1}{n}\le 1. Então
0\le a_n=\frac{(2/7)^n}{n}\le (2/7)^n.
  • A série geométrica \sum_{n=1}^\infty (2/7)^n é convergente porque a razão \dfrac{2}{7} satisfaz |2/7|<1. Logo \sum_{n=1}^\infty (2/7)^n converge (para \dfrac{2/7}{1-2/7}=\dfrac{2/7}{5/7}=\dfrac{2}{5}, se for relevante).
  • Pelo teste da comparação, a série \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(2/7)^n}{n} converge.

Passo 4

Como os termos são não-negativos, a convergência acima já significa que a série converge absolutamente (para séries de termos reais, se \sum |a_n| converge, dizemos que converge absolutamente; aqui a_n\ge0 então |a_n|=a_n). Conclusão: a série converge e a convergência é absoluta.

Passo 5

Bônus (fórmula e cálculo da soma): existe uma fórmula conhecida que vale para todo x com |x|<1,
\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}=-\ln(1-x).
Explicação breve de onde vem essa fórmula (muito útil em provas): a soma geométrica
\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}\quad\text{para }|x|<1.
Integra-se termo a termo (válido para |x|<1) desde 0 até x:
\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^\infty t^n\,dt=\sum_{n=0}^\infty\int_{0}^{x} t^n\,dt
\Rightarrow \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1}=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\,dt=-\ln(1-x).
Reindexando a soma obtém-se \sum_{n=1}^\infty x^n/n=-\ln(1-x).

Passo 6

Aplicando a fórmula com x=\dfrac{2}{7} (que satisfaz |x|<1), obtemos a soma exata:
\sum_{n=1}^\infty \frac{(2/7)^n}{n}=-\ln\!\left(1-\frac{2}{7}\right)=-\ln\!\left(\frac{5}{7}\right)=\ln\!\left(\frac{7}{5}\right).

Resposta

Converge (convergência absoluta). Soma =\displaystyle \ln\!\left(\tfrac{7}{5}\right).

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