Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
(a)
(a)
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. A série dada é
ou seja, os termos gerais são
A pergunta é: esta série converge ou diverge? (Se convergir, é interessante saber também se converge absolutamente e, se possível, calcular a soma.)
Passo 2
Observação sobre os termos: todos os
são não-negativos porque
e
. Escrever explicitamente o termo geral ajuda a escolher um teste de convergência:
Passo 3
Usar o teste da comparação simples (para séries de termos não-negativos).
- Lembrete do teste da comparação: se
para todo suficientemente grande e converge, então também converge. - Aqui note que para todo
vale . Então
- A série geométrica
é convergente porque a razão satisfaz . Logo converge (para , se for relevante). - Pelo teste da comparação, a série
converge.
Passo 4
Como os termos são não-negativos, a convergência acima já significa que a série converge absolutamente (para séries de termos reais, se
converge, dizemos que converge absolutamente; aqui
então
). Conclusão: a série converge e a convergência é absoluta.
Passo 5
Bônus (fórmula e cálculo da soma): existe uma fórmula conhecida que vale para todo
com
,
Explicação breve de onde vem essa fórmula (muito útil em provas): a soma geométrica
Integra-se termo a termo (válido para
) desde
até
:
Reindexando a soma obtém-se
.
Passo 6
Aplicando a fórmula com
(que satisfaz
), obtemos a soma exata:
Resposta
Converge (convergência absoluta). Soma
.