Determinar os valores da constante
tais que a equação diferencial
admite uma solução não trivial
para o qual
. Para cada valor possível de
, determinar a correspondente solução
. Considere valores positivos e negativos de
Resp.
, em que
Passo 1
O problema pede para resolver a equação diferencial
sujeita às condições de contorno
e
, identificando os valores de
que permitem soluções não triviais e, para cada um, apresentar a forma de
. Trata-se de um problema de autovalores (valores próprios).
Passo 2
Para
, definimos
. A solução geral da equação homogênea é
Aplicando
obtém-se
, pois
. Logo
com
para evitar a solução trivial.
Passo 3
Ainda no caso
, impomos
:
Para
precisamos de
, com
. Assim
Passo 4
Agora, para
ou
, mostra-se que as únicas soluções que atendem a ambas as condições de contorno são triviais. No caso
, vem
e
, e as condições forçam
. Para
, escrevemos
com
e a solução leva a funções hiperbólicas que, ao impor
, também só aceitam a solução nula.
Passo 5
Concluímos que apenas
, com
, geram soluções não triviais. Como
e
dão a mesma família (até troca de sinal em
), basta tomar
e escrever a solução geral associada.
Resposta
Os valores de
que admitem solução não trivial são
, com
. As soluções correspondentes são
para constante arbitrária
.