Determinar os valores da constante kappa tais que a equação diferencial
y^prime prime+kappa y=0
admite uma solução não trivial y=yk(x) para o qual ykappa(0)=fkappa(1)=0. Para cada valor possível de kappa, determinar a correspondente solução y=ykappa(x). Considere valores positivos e negativos de kappa( Resp. y(x)=A sin (n pi x), em que n in Z)

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial y''+kappa y=0 sujeita às condições de contorno y(0)=0 e y(1)=0, identificando os valores de kappa que permitem soluções não triviais e, para cada um, apresentar a forma de ykappa(x). Trata-se de um problema de autovalores (valores próprios).

Passo 2

Para kappa>0, definimos raizkappa=lambda>0. A solução geral da equação homogênea é
y(x)=Acos(lambda x)+Bsin(lambda x)
Aplicando y(0)=0 obtém-se A=0, pois y(0)=A=0. Logo
y(x)=Bsin(lambda x),
com Bneq0 para evitar a solução trivial.

Passo 3

Ainda no caso kappa>0, impomos y(1)=0:
Bsin(lambdacdot1)=0implies sin(lambda)=0
Para Bneq0 precisamos de lambda=npi, com ninZ. Assim
raizkappa=npiLongrightarrowkappa=n^2pi^2

Passo 4

Agora, para kappa=0 ou kappa<0, mostra-se que as únicas soluções que atendem a ambas as condições de contorno são triviais. No caso kappa=0, vem y''=0 e y(x)=Ax+B, e as condições forçam A=B=0. Para kappa<0, escrevemos kappa=-mu^2 com mu>0 e a solução leva a funções hiperbólicas que, ao impor y(0)=y(1)=0, também só aceitam a solução nula.

Passo 5

Concluímos que apenas kappa=n^2pi^2, com ninZ, geram soluções não triviais. Como n e -n dão a mesma família (até troca de sinal em B), basta tomar ninZ^+ e escrever a solução geral associada.

Resposta

Os valores de kappa que admitem solução não trivial são kappan=n^2pi^2, com ninZ^+. As soluções correspondentes são
yn(x)=Asin(npi x),
para constante arbitrária Aneq0.

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