Considere a sequência an definida por
a1=1 an+1=1+11+an
Supondo que an seja convergente, encontre seu limite.

Passo 1

A gente tem a sequência dada por
a1 = 1,
an+1 = 1 + 11 + an
O tópico aqui é limites de sequências definidas por recorrência. Para resolver, vamos usar o fato de que, se a sequência converge, o limite satisfaz a própria fórmula de recorrência (ponto fixo).

Passo 2

Supondo que an convirja para L, temos também que an+1 tende a L. Então na recorrência escrevemos
L = 1 + 11 + L

Passo 3

Agora vamos resolver essa equação para L. Multiplicando ambos os lados por (1+L) damos um passo importante:
L (1 + L) = (1 + L) + 1
Simplificando, fica
L^2 + L = 2 + L Longrightarrow L^2 = 2
Assim, as soluções são L = raiz2 ou L = -raiz2.

Passo 4

Para escolher a resposta certa, observamos que todos os termos an são positivos (começando em 1 e a fórmula produz sempre valor positivo). Logo descartamos -raiz2 e ficamos com L = raiz2.

Resposta

raiz2

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