Calcule o volume do sólido descrito abaixo.
Limitado por z=x^2+y^2 e z=2 y

Passo 1

Antes de tudo, o sólido é limitado pelas superfícies z = x^2 + y^2 e z = 2y. Para calcular o volume, vamos usar integrais duplas, tomando a diferença entre a cota superior e a inferior: V = integral duplaD (zsuperior - zinferior),dA.

Passo 2

Precisamos achar a região de projeção D no plano xy. Igualando as superfícies, temos
x^2 + y^2 = 2y
que reescreve como
x^2 + (y-1)^2 = 1
então D é o disco de raio 1 centrado em (0,1).

Passo 3

Para facilitar a integração, adotamos coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta
A curva limite em polares sai de r^2 = 2rsintheta, isto é,
r = 2sintheta,
e como queremos r>=0 e sintheta>=0, temos 0 <= theta <= pi.

Passo 4

Montamos então a integral do volume com a diferença 2y - (x^2+y^2):
V = integral0^piintegral0^2sintheta l(2rsintheta - r^2r),r,dr,dtheta

Passo 5

Calculando a integral interna em r:
integral0^2sintheta (2rsintheta - r^2),r,dr = 43sin^4theta
Logo,
V = 43integral0^pisin^4theta,dtheta

Passo 6

Usando a fórmula integral0^pisin^4theta,dtheta = tfrac3pi8, obtemos
V = 43cdot3pi8 = pi2

Resposta

pi2

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