Calcule o volume do sólido descrito abaixo.
Limitado por
Limitado por
Passo 1
Antes de tudo, o sólido é limitado pelas superfícies
e
. Para calcular o volume, vamos usar integrais duplas, tomando a diferença entre a cota superior e a inferior:
.
Passo 2
Precisamos achar a região de projeção
no plano
. Igualando as superfícies, temos
que reescreve como
então
é o disco de raio 1 centrado em
.
Passo 3
Para facilitar a integração, adotamos coordenadas polares:
A curva limite em polares sai de
, isto é,
e como queremos
e
, temos
.
Passo 4
Montamos então a integral do volume com a diferença
:
Passo 5
Calculando a integral interna em
:
Logo,
Passo 6
Usando a fórmula
, obtemos