Encontre a distância do ponto (1,1,1) ao plano 2 x+2 y+z=0

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar a distância do ponto (1,1,1) até o plano dado pela equação 2x + 2y + z = 0. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde a gente aprende a calcular distâncias no espaço. Para resolver isso, vamos usar uma fórmula específica que calcula a distância entre um ponto e um plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é essa fórmula. A distância D de um ponto (x0, y0, z0) até um plano definido pela equação geral Ax + By + Cz + D = 0 é dada por:
D = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Essa fórmula basicamente nos diz o quão “longe” o ponto está do plano, levando em conta os coeficientes da equação do plano e as coordenadas do ponto.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores de A, B, C e D na equação do plano que a gente tem:
A equação do plano é 2x + 2y + z = 0, então:
  • A = 2
  • B = 2
  • C = 1
  • D = 0

Passo 4

Com esses valores, vamos substituir na fórmula da distância. Nosso ponto é (1,1,1), então x0 = 1, y0 = 1 e z0 = 1. Substituindo na fórmula:
D = |2 cdot 1 + 2 cdot 1 + 1 cdot 1 + 0|raiz2^2 + 2^2 + 1^2

Passo 5

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente para facilitar:
Numerador:
|2 cdot 1 + 2 cdot 1 + 1 cdot 1 + 0| = |2 + 2 + 1| = |5| = 5
Denominador:
raiz2^2 + 2^2 + 1^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3

Resposta

Então, a distância do ponto (1,1,1) ao plano 2x + 2y + z = 0 é dfrac53 unidades.

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