Use o Teorema de Gauss para determinar o fluxo do campo rotacional de através da superfície , porção da esfera , com , orientada com apontando para fora da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Vetorial, mais especificamente usando o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência). A gente precisa encontrar o fluxo do campo rotacional de através da superfície , que é uma parte de uma esfera definida por com , e a direção da normal está para fora da esfera. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Gauss, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume limitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a superfície . A equação pode ser reescrita completando o quadrado para :
Isso representa uma esfera com centro em e raio . A condição indica que estamos considerando a parte inferior dessa esfera, até o plano .
Passo 3
Como queremos usar o Teorema de Gauss, que é aplicável a superfícies fechadas, precisamos fechar a superfície . Para isso, vamos adicionar a superfície , que é o disco no plano que fecha a esfera na parte inferior. Assim, a superfície fechada será composta por (a porção da esfera) e (o disco).
Passo 4
O Teorema de Gauss nos diz que:
No nosso caso, queremos o fluxo do rotacional de através de , ou seja, . Mas o Teorema de Gauss lida com a divergência, então precisamos adaptar.
Na verdade, vamos usar a identidade vetorial que relaciona a divergência do rotacional a zero:
Isso implica que o fluxo do rotacional de através de qualquer superfície fechada é zero.
Passo 5
Como fechamos a superfície com e , temos:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos calcular o fluxo através de . No disco , e a normal aponta para baixo, ou seja, na direção negativa do eixo . O rotacional de é:
Calculando as derivadas:
Então:
nabla times F = (2z - x, 0 - 0, z - (-1)) = (2z - x, 0, z + 1)
Passo 7
No disco S', z = 1, então:
nabla times F = (2(1) - x, 0, 1 + 1) = (2 - x, 0, 2)
A normal n aponta para baixo, então n = (0, 0, -1).
O fluxo é:
integral duplaS' (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS' (2 - x, 0, 2) cdot (0, 0, -1) , dS = integral duplaS' -2 , dS
Passo 8
Agora, precisamos calcular a área do disco S'. Como a esfera tem raio 2 e z = 1, o raio do disco S' é dado por:
r = raiz2^2 - (2 - 1)^2 = raiz4 - 1 = raiz3
Então, a área é:
A = pi r^2 = pi (raiz3)^2 = 3pi
Portanto:
integral duplaS' (nabla times F) cdot n , dS = -2 times 3pi = -6pi
Resposta
O fluxo do campo rotacional de F através da superfície S é 6pi.