Use o Teorema de Gauss para determinar o fluxo do campo rotacional de F(x, y, z)= (e^x-y, x z+y^2, 2 y z) através da superfície S, porção da esfera x^2+y^2+z^2-4 z=0, com z <= 1, orientada com n apontando para fora da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Vetorial, mais especificamente usando o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência). A gente precisa encontrar o fluxo do campo rotacional de F(x, y, z) = (e^x-y, x z+y^2, 2 y z) através da superfície S, que é uma parte de uma esfera definida por x^2+y^2+z^2-4 z=0 com z <= 1, e a direção da normal n está para fora da esfera. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Gauss, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume limitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a superfície S. A equação x^2+y^2+z^2-4 z=0 pode ser reescrita completando o quadrado para z:
x^2 + y^2 + (z^2 - 4z) = 0 x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 4
Isso representa uma esfera com centro em (0, 0, 2) e raio 2. A condição z <= 1 indica que estamos considerando a parte inferior dessa esfera, até o plano z = 1.

Passo 3

Como queremos usar o Teorema de Gauss, que é aplicável a superfícies fechadas, precisamos fechar a superfície S. Para isso, vamos adicionar a superfície S', que é o disco no plano z = 1 que fecha a esfera na parte inferior. Assim, a superfície fechada será composta por S (a porção da esfera) e S' (o disco).

Passo 4

O Teorema de Gauss nos diz que:
integral duplapartial V F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
No nosso caso, queremos o fluxo do rotacional de F através de S, ou seja, integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS. Mas o Teorema de Gauss lida com a divergência, então precisamos adaptar.
Na verdade, vamos usar a identidade vetorial que relaciona a divergência do rotacional a zero:
nabla cdot (nabla times F) = 0
Isso implica que o fluxo do rotacional de F através de qualquer superfície fechada é zero.

Passo 5

Como fechamos a superfície com S e S', temos:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS + integral duplaS' (nabla times F) cdot n , dS = 0
Portanto:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = - integral duplaS' (nabla times F) cdot n , dS

Passo 6

Agora, vamos calcular o fluxo através de S'. No disco S', z = 1 e a normal n aponta para baixo, ou seja, na direção negativa do eixo z. O rotacional de F é:
nabla times F = ( partialpartial y(2yz) - partialpartial z(xz + y^2), partialpartial z(e^x-y) - partialpartial x(2yz), partialpartial x(xz + y^2) - partialpartial y(e^x-y) )
Calculando as derivadas:
partialpartial y(2yz) = 2z partialpartial z(xz + y^2) = x partialpartial z(e^x-y) = 0 partialpartial x(2yz) = 0 partialpartial x(xz + y^2) = z partialpartial y(e^x-y) = -1
Então:
nabla times F = (2z - x, 0 - 0, z - (-1)) = (2z - x, 0, z + 1)

Passo 7

No disco S', z = 1, então:
nabla times F = (2(1) - x, 0, 1 + 1) = (2 - x, 0, 2)
A normal n aponta para baixo, então n = (0, 0, -1).
O fluxo é:
integral duplaS' (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS' (2 - x, 0, 2) cdot (0, 0, -1) , dS = integral duplaS' -2 , dS

Passo 8

Agora, precisamos calcular a área do disco S'. Como a esfera tem raio 2 e z = 1, o raio do disco S' é dado por:
r = raiz2^2 - (2 - 1)^2 = raiz4 - 1 = raiz3
Então, a área é:
A = pi r^2 = pi (raiz3)^2 = 3pi
Portanto:
integral duplaS' (nabla times F) cdot n , dS = -2 times 3pi = -6pi

Resposta

O fluxo do campo rotacional de F através da superfície S é 6pi.

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