A EDO que descreve a carga no circuito é
. As condições iniciais são
.
a) Resolvendo o PVI temos
e
b) Quando
tende a infinito, por causa das exponenciais negativos, temos que
e
.
c) O amortecimento é crítico quando o polinômio característico associado à EDO homogênea tem raízes repetidas. Isso ocorre quando
, ou seja, quando
d) Resolvendo a EDO com o valor de
encontrado acima, temos
e
.
a) Resolvendo o PVI temos
b) Quando
c) O amortecimento é crítico quando o polinômio característico associado à EDO homogênea tem raízes repetidas. Isso ocorre quando
d) Resolvendo a EDO com o valor de
Passo 1
O enunciado dá a EDO do circuito RLC homogêneo de segunda ordem
com condições iniciais
e
. Vamos resolver esse PVI para encontrar a carga
, a corrente
, estudar o comportamento quando
, achar o valor de
que dá amortecimento crítico e resolver de novo nesse caso.
Passo 2
Para colocar na forma-padrão
, dividimos tudo por
. Assim identificamos
,
e
logo
.
Passo 3
Calculamos o coeficiente de amortecimento
e a frequência natural
A solução geral é
Passo 4
Usamos as condições iniciais para achar
e
: como
então
. Derivando,
logo de
Passo 5
A corrente é
. Derivando a expressão de
obtemos
Passo 6
Quando
, o fator exponencial
vai a zero. Assim
Passo 7
O amortecimento é crítico quando o discriminante da eq. característica zera:
. Substituindo
e
,
Passo 8
No caso crítico temos
. A solução geral é
De
Resposta
a) , temos
e
.\nc) Amortecimento crítico em e