A EDO que descreve a carga no circuito é 53 d^2 qd t^2+ 10 d qd t+100030 q=0. As condições iniciais são q(0)=0 e dotq(0)=2.
a) Resolvendo o PVI temos q(t)=2 e^-3 t sen(raiz11 t)raiz11 C e i(t)=dotq(t)=2 e^-3 t cos (raiz11 t)-6 e^-3 t sen(raiz11 t)raiz11
b) Quando t tende a infinito, por causa das exponenciais negativos, temos que q(t) 0 e i(t) 0.
c) O amortecimento é crítico quando o polinômio característico associado à EDO homogênea tem raízes repetidas. Isso ocorre quando R^2=4 L / C, ou seja, quando R=20 raiz53 Omega
d) Resolvendo a EDO com o valor de R encontrado acima, temos q(t)=2 t e^-2 raiz5 t C e i(t)=dotq(t)= 2 e^-2 raiz5 t-4 raiz5 t e^-2 raiz5 t A.

Passo 1

O enunciado dá a EDO do circuito RLC homogêneo de segunda ordem
53d^2qdt^2+10dqdt+100030q=0
com condições iniciais q(0)=0 e dot q(0)=2. Vamos resolver esse PVI para encontrar a carga q(t), a corrente i(t)=dot q(t), estudar o comportamento quando ttoinfty, achar o valor de R que dá amortecimento crítico e resolver de novo nesse caso.

Passo 2

Para colocar na forma-padrão q''+(R/L)q'+(1/(LC))q=0, dividimos tudo por L=5/3. Assim identificamos
R=10,Omega,
C=1l(100030r)!(35)=0.03, F
e
1LC=1000/305/3=20,,
logo omega0=raiz1/(LC)=raiz20.

Passo 3

Calculamos o coeficiente de amortecimento
alpha=R2L=102,(5/3)=3
e a frequência natural omega0=raiz20. Como alpha, o regime é subamortecido e a freq. amortecida é
omegad=raizomega0^2-alpha^2=raiz20-9=raiz11,
A solução geral é
q(t)=e^-alpha tl(C1cos(omegad t)+C2sin(omegad t)r).

Passo 4

Usamos as condições iniciais para achar C1 e C2: como q(0)=0 então C1=0. Derivando,
dot q(t)=e^-3tl(-3C2sin(raiz11t)+C2raiz11cos(raiz11t)r),
logo de dot q(0)=2 vem
C2raiz11=2, isto é C2=2/raiz11. Portanto
q(t)=2raiz11e^-3tsin(raiz11t), C.

Passo 5

A corrente é i(t)=dot q(t). Derivando a expressão de q(t) obtemos
i(t)=2e^-3tcos(raiz11t)-6raiz11e^-3tsin(raiz11t), A.

Passo 6

Quando ttoinfty, o fator exponencial e^-3t vai a zero. Assim
q(t)to0 e i(t)to0,

Passo 7

O amortecimento é crítico quando o discriminante da eq. característica zera: R^2=4L/C. Substituindo L=5/3 e C=0.03,
Rcrit=2raizLC=20raiz53,Omega.

Passo 8

No caso crítico temos alpha=Rcrit/(2L)=2raiz5. A solução geral é
q(t)=(A+Bt)e^-2raiz5,t.
De q(0)=0 segue A=0, e de dot q(0)=2 vem B=2. Portanto
q(t)=2t,e^-2raiz5 t, C e i(t)=2e^-2raiz5 t-4raiz5,t,e^-2raiz5 t, A.

Resposta

a) , temos q(t)=2e^-3tsin(raiz11t)raiz11, C, i(t)=2e^-3tcos(raiz11t)-6e^-3tsin(raiz11t)raiz11, Anb) Quando (ttoinfty e q(t)to0.\nc) Amortecimento crítico em e i(t)to0

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