Resolva o PVI:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão nos pede para resolver um PVI (Problema de Valor Inicial) para um sistema de equações diferenciais lineares. Aqui, estamos trabalhando com matrizes e precisamos usar conceitos de sistemas lineares, como autovalores e autovetores, para encontrar a solução. Vamos precisar entender como resolver sistemas lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações diferenciais que nos foi dado:
X' = -2 & 0 2 & -2 X
E a condição inicial é:
X(0) = -4 5

Passo 3

Para resolver esse sistema, precisamos encontrar a matriz exponencial $ e^{At} $, onde $ A $ é a matriz dos coeficientes:
e^At
Como $ A $ é uma matriz triangular (as entradas acima da diagonal principal são zero), os autovalores são os elementos da diagonal. Portanto, os autovalores são A e A = -2 & 0 2 & -2 . Como temos um autovalor repetido, precisamos verificar os autovetores para encontrar a solução geral.

Passo 4

Vamos encontrar os autovetores para lambda = -2. Para isso, resolvemos (A - lambda I)v = 0:

$$
-2 - (-2) & 0 2 & -2 - (-2) v1 v2 = 0 & 0 2 & 0 v1 v2 = 0 0
2v1 = 0

v1 = 0
v2

v2 = 1
$$
Da segunda equação, v = 0 1 , então . A primeira equação não nos dá mais informação, então podemos escolher livremente. Vamos escolher . Assim, um autovetor é:

Passo 5

Como temos um autovalor repetido e apenas um autovetor linearmente independente, precisamos encontrar uma solução generalizada. A solução para sistemas com autovalores repetidos e uma única direção de autovetor inclui um termo adicional que envolve t. A solução geral é:
X(t) = e^lambda t ( C1 v + C2 (v t + w) )
onde w é um vetor que satisfaz (A - lambda I)w = v. Vamos encontrar w.

Passo 6

Calculando (A - lambda I)w = v:

$$
0 & 0 2 & 0 w1 w2 = 0 1
2w1 = 1

w1 = 12
$$
Da segunda equação, w2, então w2 = 0. A primeira equação não nos dá restrição para w = 12 0 , então podemos escolher . Assim,

Passo 7

Agora, podemos escrever a solução geral do sistema:
X(t) = e^-2t ( C1 0 1 + C2 ( t 0 1 + 12 0 ) )
Simplificando:
X(t) = e^-2t C22 C1 + C2 t

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial X(0) = -4 5 :
X(0) = e^0 C22 C1 = C22 C1 = -4 5
Isso nos dá o sistema de equações:
C22 = -4 Rightarrow C2 = -8
C1 = 5

Resposta

Substituindo os valores de C1 e C2 na solução geral, temos:
X(t) = e^-2t -4 5 - 8t
Assim, a solução do PVI é:
X(t) = e^-2t -4 5 - 8t

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