Resolva o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão nos pede para resolver um PVI (Problema de Valor Inicial) para um sistema de equações diferenciais lineares. Aqui, estamos trabalhando com matrizes e precisamos usar conceitos de sistemas lineares, como autovalores e autovetores, para encontrar a solução. Vamos precisar entender como resolver sistemas lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações diferenciais que nos foi dado:
E a condição inicial é:
Passo 3
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar a matriz exponencial $ e^{At} $, onde $ A $ é a matriz dos coeficientes:
Como $ A $ é uma matriz triangular (as entradas acima da diagonal principal são zero), os autovalores são os elementos da diagonal. Portanto, os autovalores são
e
. Como temos um autovalor repetido, precisamos verificar os autovetores para encontrar a solução geral.
Passo 4
Vamos encontrar os autovetores para
. Para isso, resolvemos
:
$$
$$
Da segunda equação,
, então
. A primeira equação não nos dá mais informação, então podemos escolher
livremente. Vamos escolher
. Assim, um autovetor é:
Passo 5
Como temos um autovalor repetido e apenas um autovetor linearmente independente, precisamos encontrar uma solução generalizada. A solução para sistemas com autovalores repetidos e uma única direção de autovetor inclui um termo adicional que envolve
. A solução geral é:
onde
é um vetor que satisfaz
. Vamos encontrar
.
Passo 6
Calculando
:
$$
$$
Da segunda equação,
, então
. A primeira equação não nos dá restrição para
, então podemos escolher
. Assim,
Passo 7
Agora, podemos escrever a solução geral do sistema:
Simplificando:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resposta
Substituindo os valores de
e
na solução geral, temos:
Assim, a solução do PVI é: