Calcule o volume do sólido no espaço X Y Z delimitado por y=2 x^2, y=8-x^2, z=0 e z=4-x^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido no espaço XYZ limitado pelas superfícies y=2x^2, y=8-x^2, z=0 e z=4-x^2. O conteúdo principal aqui é volume por integrais triplas e vamos precisar saber como montar e avaliar esse tipo de integral.

Passo 2

Primeiro, projetamos a região no plano XY: a condição 2x^2<= y<=8-x^2 existe se 2x^2<=8-x^2, o que dá 3x^2<=8 e então -raiz8/3<= x<=raiz8/3. Para cada x nessa faixa, y varia de 2x^2 até 8-x^2. Já em Z temos 0<= z<=4-x^2, e isso exige x^2<=4, o que fica garantido pela faixa anterior.

Passo 3

Escrevemos o volume como integral tripla:
V=integralx=-raiz8/3^raiz8/3integraly=2x^2^8-x^2integralz=0^4-x^2dz,dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em Z, que é direto porque o integrando é 1:
integral0^4-x^2dz=4-x^2

Passo 5

Então fica uma dupla em X e Y:
V=integral-raiz8/3^raiz8/3integral2x^2^8-x^2(4-x^2),dy,dx

Passo 6

Agora integramos em Y, que só multiplica pelo comprimento em Y:
integral2x^2^8-x^2(4-x^2),dy=(4-x^2)l[(8-x^2)-2x^2r]=(4-x^2)(8-3x^2)

Passo 7

Logo sobra uma integral só em X:
V=integral-raiz8/3^raiz8/3(4-x^2)(8-3x^2),dx

Passo 8

Expandimos o produto:
(4-x^2)(8-3x^2)=32-20x^2+3x^4,
e observamos que é uma função par, então
V=2integral0^raiz8/3(32-20x^2+3x^4),dx

Passo 9

Calculamos a integral:
2l[32x-203x^3+35x^5r]0^raiz8/3

Passo 10

Substituindo a=raiz8/3 e usando a^2=8/3, a^3=tfrac83a, a^5=tfrac649a, chegamos a
V=3328raiz6135

Resposta

V=3328raiz6135

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