Calcule o volume do sólido no espaço
delimitado por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido no espaço XYZ limitado pelas superfícies
,
,
e
. O conteúdo principal aqui é volume por integrais triplas e vamos precisar saber como montar e avaliar esse tipo de integral.
Passo 2
Primeiro, projetamos a região no plano XY: a condição
existe se
, o que dá
e então
. Para cada
nessa faixa,
varia de
até
. Já em Z temos
, e isso exige
, o que fica garantido pela faixa anterior.
Passo 3
Escrevemos o volume como integral tripla:
Passo 4
Integramos primeiro em Z, que é direto porque o integrando é 1:
Passo 5
Então fica uma dupla em X e Y:
Passo 6
Agora integramos em Y, que só multiplica pelo comprimento em Y:
Passo 7
Logo sobra uma integral só em X:
Passo 8
Expandimos o produto:
e observamos que é uma função par, então
Passo 9
Calculamos a integral:
Passo 10
Substituindo
e usando
,
,
, chegamos a