Calcule o volume do sólido formado pela rotação da região entre as curvas y=x^{2} e y=x+2 em torno do eixo x .

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas y = x^2 e y = x + 2. O conteúdo necessário é o método dos discos (ou anéis):
  • Determinar o intervalo de integração pelos pontos de interseção.
  • Definir raio externo R(x) e raio interno r(x).
  • Calcular
V = \pi \int_{a}^{b} \bigl(R(x)^2 - r(x)^2\bigr)\,dx.

Passo 2

Encontrar os pontos onde x^2 = x + 2. Resolvendo
x^2 - x - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = 2 \text{ ou } -1.
Logo, vamos integrar de x=-1 até x=2.

Passo 3

Para cada x\in[-1,2], a curva superior é y_{\text{top}} = x + 2 e a inferior é y_{\text{bot}} = x^2. Girando em torno de x, temos:
R(x) = x + 2, \quad r(x) = x^2.

Passo 4

Aplicando a fórmula dos anéis, o volume é
V = \pi \int_{-1}^{2} \bigl[(x + 2)^2 - (x^2)^2\bigr]\,dx.
Expandindo o integrando:
(x+2)^2 - x^4 = x^2 + 4x + 4 - x^4.

Passo 5

Calcular a primitiva:
\int \bigl(-x^4 + x^2 + 4x + 4\bigr)\,dx = -\frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x.
Avaliar de -1 a 2:
\Bigl[-\tfrac{x^5}{5} + \tfrac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x\Bigr]_{-1}^{2} = \Bigl(-\tfrac{32}{5} + \tfrac{8}{3} + 8 + 8\Bigr) - \Bigl(\tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{3} - 2\Bigr).
Simplificando:
-\tfrac{32}{5} - \tfrac{1}{5} = -\tfrac{33}{5}, \quad \tfrac{8}{3} + \tfrac{1}{3} = 3, \quad 8 + 8 + 2 = 18 \;\Longrightarrow\; -\tfrac{33}{5} + 21 = \tfrac{72}{5}.

Passo 6

Multiplicando por \pi, obtemos
V = \pi \cdot \frac{72}{5} = \frac{72\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{72\pi}{5}

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