Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da região limitada por y=x^{2}, x=2 e o eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada por y = x^{2}, x = 2 e o eixo x. O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos, usando que o volume de um disco de raio R(x) e espessura dx é \pi [R(x)]^{2}dx.

Passo 2

Vamos entender a região. A curva y = x^{2} intersecta o eixo x em x=0. A reta vertical x=2 fecha a região à direita. Assim, a região no plano é
0 \le x \le 2, \quad 0 \le y \le x^{2}.

Passo 3

Ao girar essa região em torno do eixo x, cada fatia vertical em x gera um disco de raio igual a y = x^{2}. Pelo método dos discos, o volume é
V = \int_{x=0}^{2} \pi \bigl[R(x)\bigr]^{2} dx = \pi \int_{0}^{2} \bigl(x^{2}\bigr)^{2} dx = \pi \int_{0}^{2} x^{4} \,dx.

Passo 4

Agora, calculamos a integral:
\int_{0}^{2} x^{4} \,dx = \left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{5}}{5} - 0 = \frac{32}{5}.
Multiplicando por \pi, obtemos
V = \pi \cdot \frac{32}{5} = \frac{32\pi}{5}.

Resposta

\frac{32\pi}{5}

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