Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da área limitada pelas curvas y^{2}=2 x e y=x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas \,y^{2}=2x e y=x. O conteúdo aqui é volume de revolução; podemos usar o método dos cascos cilíndricos (ou, alternativamente, o método dos discos).

Passo 2

Para achar os limites da região, igualamos as curvas:
y^{2}=2x \quad\text{e}\quad y=x
Substituindo x=y na primeira dá
y^{2}=2y \;\Rightarrow\; y(y-2)=0 \;\Rightarrow\; y=0\;\text{ou}\;y=2.
Logo, as interseções são (0,0) e (2,2).

Passo 3

Pelo método dos cascos, tomamos fatias horizontais a uma altura y\in[0,2]. Cada casca tem:
raio =y,
altura =x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}} =y-\tfrac{y^{2}}{2},
e espessura \,dy. Assim,
V =2\pi\int_{0}^{2}y\Bigl(y-\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr)\,dy.

Passo 4

Calculando a integral:
\int_{0}^{2}\Bigl(y^{2}-\tfrac{y^{3}}{2}\Bigr)dy =\Bigl[\tfrac{y^{3}}{3}-\tfrac{y^{4}}{8}\Bigr]_{0}^{2} =\Bigl(\tfrac{8}{3}-\tfrac{16}{8}\Bigr) =\tfrac{8}{3}-2 =\tfrac{2}{3}.
Portanto,
V=2\pi\cdot\tfrac{2}{3} =\tfrac{4\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{4\pi}{3}

Exercícios relacionados