Mostre que todo número algébrico de grau 2 é construtível.
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que todo número algébrico de grau
é construtível com régua e compasso.
Informações dadas (o que usamos do enunciado):
- Temos um número
que é algébrico de grau sobre . Isso significa que existe um polinômio mínimo de grau com coeficientes racionais que anula . - Especificamente, existe
com tais que é raiz de
- O objetivo é construir geometricamente (com régua e compasso a partir de um segmento de referência de comprimento
) o número . Aqui “construir” significa obter um segmento cujo comprimento é (se real) ou construir o ponto no plano com coordenadas (se complexo), usando operações geométricas permitidas.
O enunciado não pede um método específico — cabe a mim mostrar passo a passo que qualquer raiz de tal equação pode ser obtida por construções elementares.
Passo 2
Definições essenciais (sem fazer a prova ainda, só para ficarmos alinhados):
- Definição de número algébrico de grau
: é algébrico de grau se seu polinômio mínimo sobre tem grau . Assim existe , , com
e nenhum polinômio não nulo de grau menor que
com coeficientes racionais anula
.
- Definição (intuitiva) de número construtível: um número real
é construtível se, a partir de um segmento de comprimento e usando régua não graduada e compasso, é possível construir um segmento de comprimento em um número finito de passos. Equivalentemente, o conjunto de números construtíveis é o menor conjunto de números reais que contém e é fechado por soma, subtração, multiplicação, divisão (por não nulos) e extração de raízes quadradas positivas. - Observação prática: para construir complexos não reais usa-se o plano: construímos os comprimentos
e e colocamos o ponto correspondente.
Passo 3
Expressar
em termos simples (fórmula quadrática).
A raiz da equação
pode ser escrita pela fórmula de Bhaskara:
A raiz
Explicação do que cada símbolo significa:
-
(números racionais dados). -
é o discriminante (um número racional).
Portantoé obtida a partir de por operações racionais básicas (soma/subtração, divisão) e pela extração da raiz quadrada . Nossa tarefa principal reduz-se a mostrar que essas operações e a operação “extrair ” produzem números construtíveis.
Passo 4
Mostrar que números racionais são construtíveis (motivação e construção).
- Intuição: a partir de um segmento de comprimento
podemos obter qualquer inteiro e qualquer fração racional usando repetições e semelhança de triângulos. - Como construir
: repete-se o segmento unidade vezes sobre uma reta usando régua e compasso (traçar segmentos consecutivos). - Como construir
com , : faça um segmento de comprimento paralelo a outro de comprimento formando triângulos semelhantes; usando a regra de três geométrica (semelhança) obtemos . Mais concreto: desenhe um raio com dois pontos e tais que (repita unidade), sobre outro raio marque ; una a e trace paralela a a partir do ponto que divide o primeiro raio em partes; a interseção produz segmento de comprimento . Esta é uma construção padrão com triângulos semelhantes. - Conclusão: todo número racional é construtível.
Passo 5
Mostrar que soma, diferença, produto e quociente de números construtíveis são construtíveis.
- Soma e subtração: dados segmentos de comprimentos
e numa mesma reta, basta concatená-los (ou medir e subtrair) para obter e . - Multiplicação e divisão (construção via semelhança): exemplo para construir
a partir de segmentos de comprimentos e e do segmento unidade : - Construa um triângulo qualquer com um vértice em
e dois pontos sobre um raio, tal que e . - Sobre outro raio a partir de
marque . - Una
a . Trace uma reta através de paralela a que intersecta o segundo raio numa posição . - Pela semelhança de triângulos,
. - Para divisão
, análoga: escolha , , e proceda; então certa interseção dá .
- Construa um triângulo qualquer com um vértice em
- Esses procedimentos são clássicos e baseiam-se somente em traçar paralelas e usar triângulos semelhantes, operações permitidas com régua e compasso.
- Conclusão: o conjunto de números construtíveis é um corpo (fechado sob
) que contém .
Passo 6
Mostrar que, se
é construtível, então
é construtível (construção geométrica da raiz quadrada).
Vou descrever a construção padrão (sem medo: é simples e elegante).
Vou descrever a construção padrão (sem medo: é simples e elegante).
- Partimos de um segmento numa reta com comprimento
e também temos a unidade (construível). - Coloque sobre uma reta um segmento de comprimento
seguido por um segmento de comprimento ; isto forma um segmento com comprimento . Marque o ponto que divide de modo que e . - Construa a semicircunferência com diâmetro
. - Trace a perpendicular a
em que intersecta a semicircunferência em . - Pela propriedade da potência do ponto (Teorema de Tales / semelhança de triângulos), temos
Logo
.
- Conclusão: com régua e compasso é possível extrair raiz quadrada de qualquer comprimento positivo construtível.
Passo 7
Aplicar tudo ao discriminante
.
- Observação:
, então . Assim é um número racional. Se então é construtível (por Passo 4) e, por Passo 6, é construtível. - Se
então é racional e positivo; por Passos 4 e 6 podemos construir . Nesse caso é imaginário; o que importa para construção no plano é que podemos construir e (os comprimentos e são construtíveis). Assim podemos marcar o ponto no plano correspondente a . - Portanto em qualquer caso (discriminante não negativo ou negativo) temos controle geométrico de
como comprimento real (ou do seu módulo).
Passo 8
Combinar para construir
.
- Usando a fórmula
sabemos que
,
e
são construtíveis (pois
, veja Passos 4 e 7). Pela propriedade do conjunto de números construtíveis ser fechado por soma e divisão (Passo 5), o quociente
é construtível.
- Se
for real, isto dá diretamente o segmento de comprimento . Se for complexo, construímos as coordenadas reais e a componente imaginária e colocamos o ponto apropriado no plano; isso é permitido porque construímos ambos os comprimentos. - Assim qualquer raiz de um polinômio quadrático com coeficientes racionais é construtível.
Passo 9
Comentário final e mentalidade de prova (para a hora da prova).
- Em provas, o argumento padrão é exatamente este: usar a fórmula quadrática para reduzir a raiz à operação de extrair uma raiz quadrada de um racional, e então lembrar que a construção de
é feita pela semicircunferência e semelhança (Passo 6). Também é útil lembrar que soma, produto e quociente são realizáveis geometricamente (Passos 4–5). - Se o enunciado pede apenas “mostrar”, basta escrever: seja
raiz de , então . Como , constrói-se geometricamente; como soma, divisão e multiplicação preservam construtibilidade, é construtível. Para procede-se construindo as partes real e imaginária. Pronto. - Respire fundo: essa é uma prova direta e padrão — não precisa de teoria de Galois aqui, só de Bhaskara e das construções geométricas básicas que você aprendeu no colégio.
Resposta
Todo número algébrico de grau
é construtível.