Mostre que todo número algébrico de grau 2 é construtível.

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que todo número algébrico de grau 2 é construtível com régua e compasso.
Informações dadas (o que usamos do enunciado):
  • Temos um número \alpha que é algébrico de grau 2 sobre \mathbb{Q}. Isso significa que existe um polinômio mínimo de grau 2 com coeficientes racionais que anula \alpha.
  • Especificamente, existe a,b,c\in\mathbb{Q} com a\neq0 tais que \alpha é raiz de
a x^2 + b x + c = 0.
  • O objetivo é construir geometricamente (com régua e compasso a partir de um segmento de referência de comprimento 1) o número \alpha. Aqui “construir” significa obter um segmento cujo comprimento é |\alpha| (se \alpha real) ou construir o ponto no plano com coordenadas (\operatorname{Re}\alpha,\operatorname{Im}\alpha) (se \alpha complexo), usando operações geométricas permitidas.
O enunciado não pede um método específico — cabe a mim mostrar passo a passo que qualquer raiz de tal equação pode ser obtida por construções elementares.

Passo 2

Definições essenciais (sem fazer a prova ainda, só para ficarmos alinhados):
  • Definição de número algébrico de grau 2: \alpha é algébrico de grau 2 se seu polinômio mínimo sobre \mathbb{Q} tem grau 2. Assim existe a,b,c\in\mathbb{Q}, a\neq0, com
a\alpha^2+b\alpha+c=0,
e nenhum polinômio não nulo de grau menor que 2 com coeficientes racionais anula \alpha.
  • Definição (intuitiva) de número construtível: um número real x é construtível se, a partir de um segmento de comprimento 1 e usando régua não graduada e compasso, é possível construir um segmento de comprimento |x| em um número finito de passos. Equivalentemente, o conjunto de números construtíveis é o menor conjunto de números reais que contém \mathbb{Q} e é fechado por soma, subtração, multiplicação, divisão (por não nulos) e extração de raízes quadradas positivas.
  • Observação prática: para construir complexos não reais usa-se o plano: construímos os comprimentos \operatorname{Re}\alpha e \operatorname{Im}\alpha e colocamos o ponto correspondente.

Passo 3

Expressar \alpha em termos simples (fórmula quadrática).
A raiz \alpha da equação a x^2 + b x + c = 0 pode ser escrita pela fórmula de Bhaskara:
\alpha=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • a,b,c\in\mathbb{Q} (números racionais dados).
  • D := b^2-4ac é o discriminante (um número racional).
    Portanto \alpha é obtida a partir de a,b,c por operações racionais básicas (soma/subtração, divisão) e pela extração da raiz quadrada \sqrt{D}. Nossa tarefa principal reduz-se a mostrar que essas operações e a operação “extrair \sqrt{\cdot}” produzem números construtíveis.

Passo 4

Mostrar que números racionais são construtíveis (motivação e construção).
  • Intuição: a partir de um segmento de comprimento 1 podemos obter qualquer inteiro e qualquer fração racional usando repetições e semelhança de triângulos.
  • Como construir n\in\mathbb{Z}: repete-se o segmento unidade n vezes sobre uma reta usando régua e compasso (traçar segmentos consecutivos).
  • Como construir \frac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z}, q\neq0: faça um segmento de comprimento p paralelo a outro de comprimento 1 formando triângulos semelhantes; usando a regra de três geométrica (semelhança) obtemos \frac{p}{q}. Mais concreto: desenhe um raio com dois pontos O e A tais que OA= q (repita unidade), sobre outro raio marque OB= p; una A a B e trace paralela a AB a partir do ponto que divide o primeiro raio em q partes; a interseção produz segmento de comprimento p/q. Esta é uma construção padrão com triângulos semelhantes.
  • Conclusão: todo número racional é construtível.

Passo 5

Mostrar que soma, diferença, produto e quociente de números construtíveis são construtíveis.
  • Soma e subtração: dados segmentos de comprimentos x e y numa mesma reta, basta concatená-los (ou medir e subtrair) para obter x+y e |x-y|.
  • Multiplicação e divisão (construção via semelhança): exemplo para construir xy a partir de segmentos de comprimentos x e y e do segmento unidade 1:
    • Construa um triângulo qualquer com um vértice em O e dois pontos A,B sobre um raio, tal que OA=1 e OB=x.
    • Sobre outro raio a partir de O marque OC=y.
    • Una A a C. Trace uma reta através de B paralela a AC que intersecta o segundo raio numa posição D.
    • Pela semelhança de triângulos, OD = x\cdot y.
    • Para divisão x/y, análoga: escolha OA=y, OB=1, OC=x e proceda; então certa interseção dá x/y.
  • Esses procedimentos são clássicos e baseiam-se somente em traçar paralelas e usar triângulos semelhantes, operações permitidas com régua e compasso.
  • Conclusão: o conjunto de números construtíveis é um corpo (fechado sob +,-,\cdot,/) que contém \mathbb{Q}.

Passo 6

Mostrar que, se s>0 é construtível, então \sqrt{s} é construtível (construção geométrica da raiz quadrada).
Vou descrever a construção padrão (sem medo: é simples e elegante).
  • Partimos de um segmento numa reta com comprimento s e também temos a unidade 1 (construível).
  • Coloque sobre uma reta um segmento de comprimento 1 seguido por um segmento de comprimento s; isto forma um segmento AB com comprimento 1+s. Marque o ponto C que divide AB de modo que AC=1 e CB=s.
  • Construa a semicircunferência com diâmetro AB.
  • Trace a perpendicular a AB em C que intersecta a semicircunferência em D.
  • Pela propriedade da potência do ponto (Teorema de Tales / semelhança de triângulos), temos
(CD)^2 = AC\cdot CB = 1\cdot s = s.
Logo CD=\sqrt{s}.
  • Conclusão: com régua e compasso é possível extrair raiz quadrada de qualquer comprimento positivo construtível.

Passo 7

Aplicar tudo ao discriminante D=b^2-4ac.
  • Observação: a,b,c\in\mathbb{Q}, então b^2-4ac\in\mathbb{Q}. Assim D é um número racional. Se D\ge0 então D é construtível (por Passo 4) e, por Passo 6, \sqrt{D} é construtível.
  • Se D<0 então |D|=-D é racional e positivo; por Passos 4 e 6 podemos construir \sqrt{|D|}. Nesse caso \sqrt{D}=i\sqrt{|D|} é imaginário; o que importa para construção no plano é que podemos construir \operatorname{Re}\alpha e \operatorname{Im}\alpha (os comprimentos \frac{-b}{2a} e \frac{\sqrt{|D|}}{2|a|} são construtíveis). Assim podemos marcar o ponto no plano correspondente a \alpha.
  • Portanto em qualquer caso (discriminante não negativo ou negativo) temos controle geométrico de \sqrt{D} como comprimento real (ou do seu módulo).

Passo 8

Combinar para construir \alpha.
  • Usando a fórmula
\alpha=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},
sabemos que -b, 2a e \sqrt{D} são construtíveis (pois a,b\in\mathbb{Q}, veja Passos 4 e 7). Pela propriedade do conjunto de números construtíveis ser fechado por soma e divisão (Passo 5), o quociente \dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} é construtível.
  • Se \alpha for real, isto dá diretamente o segmento de comprimento |\alpha|. Se \alpha for complexo, construímos as coordenadas reais \operatorname{Re}\alpha=\dfrac{-b}{2a} e a componente imaginária \dfrac{\sqrt{|D|}}{2|a|} e colocamos o ponto apropriado no plano; isso é permitido porque construímos ambos os comprimentos.
  • Assim qualquer raiz de um polinômio quadrático com coeficientes racionais é construtível.

Passo 9

Comentário final e mentalidade de prova (para a hora da prova).
  • Em provas, o argumento padrão é exatamente este: usar a fórmula quadrática para reduzir a raiz à operação de extrair uma raiz quadrada de um racional, e então lembrar que a construção de \sqrt{s} é feita pela semicircunferência e semelhança (Passo 6). Também é útil lembrar que soma, produto e quociente são realizáveis geometricamente (Passos 4–5).
  • Se o enunciado pede apenas “mostrar”, basta escrever: seja \alpha raiz de ax^2+bx+c=0, então \alpha=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. Como b^2-4ac\in\mathbb{Q}, constrói-se \sqrt{b^2-4ac} geometricamente; como soma, divisão e multiplicação preservam construtibilidade, \alpha é construtível. Para \,D<0 procede-se construindo as partes real e imaginária. Pronto.
  • Respire fundo: essa é uma prova direta e padrão — não precisa de teoria de Galois aqui, só de Bhaskara e das construções geométricas básicas que você aprendeu no colégio.

Resposta

Todo número algébrico de grau 2 é construtível.

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