Mostre, sem construir, que os seguintes números reais são construtíveis.
\sqrt[8]{5+\sqrt[4]{2+\sqrt[2]{3}}}.

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre, sem desenhar a construção, que o número real
\sqrt[8]{5+\sqrt[4]{2+\sqrt[2]{3}}}
é construtível. As informações dadas são exatamente essa expressão com radicais aninhados: o radical interno é \sqrt[2]{3}, depois vem \sqrt[4]{2+\sqrt[2]{3}} e por fim a oitava raiz de 5+ esse quarto‑radical.

Passo 2

Vou lembrar um fato teórico essencial (vou explicar devagarinho): um número real x é construtível com régua e compasso se, e somente se, existe uma torre finita de extensões de corpos
\mathbb{Q}=F_0\subset F_1\subset F_2\subset\cdots\subset F_n
tal que, para cada i, temos F_{i+1}=F_i(\sqrt{a_i}) para algum a_i\in F_i; ou seja, cada passo é a adjunção de uma raiz quadrada (cada extensão tem grau 1 ou 2), e x\in F_n. Em palavras mais simples: números que podem ser obtidos a partir dos racionais por uma sequência de soma, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes quadradas são exatamente os construtíveis. Esse fato vem da observação de que as construções com régua e compasso reduzem sempre a resolver equações quadráticas, e de que qualquer adjunção de uma raiz quadrada pode ser feita geometricamente.

Passo 3

Agora vou mostrar explicitamente uma sequência de adjunções de raízes quadradas que produz o radical da questão. Primeiro, defino o primeiro elemento que preciso acrescentar ao corpo dos racionais:
\alpha_1:=\sqrt{3}.
Isso significa que considero F_1=\mathbb{Q}(\alpha_1). Essa é uma extensão obtida por adjunção de uma raiz quadrada, portanto do tipo permitido.

Passo 4

Em seguida, defino
\alpha_2:=\sqrt{\,2+\alpha_1\,}=\sqrt{\,2+\sqrt{3}\,}.
Note que \alpha_2^2=2+\alpha_1\in F_1, logo \alpha_2 é raiz quadrada de um elemento de F_1 e assim F_2:=F_1(\alpha_2) é uma extensão obtida por adjunção de raiz quadrada (grau 1 ou 2 sobre F_1). Até aqui fiz duas adjunções de raízes quadradas: primeiro \sqrt{3}, depois \sqrt{2+\sqrt{3}}.

Passo 5

Para obter a quarta raiz \sqrt[4]{2+\sqrt{3}} eu preciso de mais uma raiz quadrada. Defino
\alpha_3:=\sqrt{\alpha_2}=\sqrt[4]{\,2+\sqrt{3}\,}.
Como \alpha_3^2=\alpha_2\in F_2, a adjunção de \alpha_3 produz F_3=F_2(\alpha_3), novamente uma extensão por raiz quadrada. Assim já construí em três passos a quantidade \alpha_3=\sqrt[4]{2+\sqrt{3}}.

Passo 6

Agora volto ao radical externo. Quero \sqrt[8]{\,5+\alpha_3\,}. Repare que 1/8=1/2^3, então extrair a oitava raiz equivale a realizar três extrações sucessivas de raiz quadrada. Defino, em sequência,
\beta_1:=\sqrt{\,5+\alpha_3\,},\qquad \beta_2:=\sqrt{\beta_1},\qquad \beta_3:=\sqrt{\beta_2}.
Calculando os expoentes: \beta_1=(5+\alpha_3)^{1/2}, \beta_2=(5+\alpha_3)^{1/4}, \beta_3=(5+\alpha_3)^{1/8}. Portanto \beta_3 é exatamente o número original pedido:
\beta_3=\sqrt[8]{\,5+\sqrt[4]{2+\sqrt{3}}\,}.
Cada \beta_{i} é raiz quadrada de um elemento do corpo anterior, então cada adjunção F_{3}\subset F_{4}:=F_3(\beta_1)\subset F_{5}:=F_4(\beta_2)\subset F_{6}:=F_5(\beta_3) é do tipo permitido (raiz quadrada).

Passo 7

Juntando tudo: construí uma torre de corpos
\mathbb{Q}=F_0\subset F_1=\mathbb{Q}(\sqrt{3})\subset F_2=F_1(\sqrt{2+\sqrt{3}})\subset F_3=F_2(\sqrt[4]{2+\sqrt{3}})
\subset F_4=F_3(\sqrt{5+\sqrt[4]{2+\sqrt{3}}})\subset F_5=F_4(\sqrt{\,\cdot\,})\subset F_6=F_5(\sqrt{\,\cdot\,}),
onde em cada passo eu adicionei uma raiz quadrada de um elemento já presente no passo anterior. O número pedido é um elemento de F_6 (pois é \beta_3). Pelo fato teórico citado, isso basta para concluir que o número é construtível: ele foi obtido por uma sequência finita de adjunções de raízes quadradas a partir de \mathbb{Q}.

Resposta

O número \sqrt[8]{5+\sqrt[4]{2+\sqrt[2]{3}}} é construtível.

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