Mostre, sem construir, que os seguintes números reais são construtíveis.
.
Passo 1
O enunciado pede que eu mostre, sem desenhar a construção, que o número real
é construtível. As informações dadas são exatamente essa expressão com radicais aninhados: o radical interno é
, depois vem
e por fim a oitava raiz de
esse quarto‑radical.
Passo 2
Vou lembrar um fato teórico essencial (vou explicar devagarinho): um número real
é construtível com régua e compasso se, e somente se, existe uma torre finita de extensões de corpos
tal que, para cada
, temos
para algum
; ou seja, cada passo é a adjunção de uma raiz quadrada (cada extensão tem grau
ou
), e
. Em palavras mais simples: números que podem ser obtidos a partir dos racionais por uma sequência de soma, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes quadradas são exatamente os construtíveis. Esse fato vem da observação de que as construções com régua e compasso reduzem sempre a resolver equações quadráticas, e de que qualquer adjunção de uma raiz quadrada pode ser feita geometricamente.
Passo 3
Agora vou mostrar explicitamente uma sequência de adjunções de raízes quadradas que produz o radical da questão. Primeiro, defino o primeiro elemento que preciso acrescentar ao corpo dos racionais:
Isso significa que considero
. Essa é uma extensão obtida por adjunção de uma raiz quadrada, portanto do tipo permitido.
Passo 4
Em seguida, defino
Note que
, logo
é raiz quadrada de um elemento de
e assim
é uma extensão obtida por adjunção de raiz quadrada (grau
ou
sobre
). Até aqui fiz duas adjunções de raízes quadradas: primeiro
, depois
.
Passo 5
Para obter a quarta raiz
eu preciso de mais uma raiz quadrada. Defino
Como
, a adjunção de
produz
, novamente uma extensão por raiz quadrada. Assim já construí em três passos a quantidade
.
Passo 6
Agora volto ao radical externo. Quero
. Repare que
, então extrair a oitava raiz equivale a realizar três extrações sucessivas de raiz quadrada. Defino, em sequência,
Calculando os expoentes:
,
,
. Portanto
é exatamente o número original pedido:
Cada
é raiz quadrada de um elemento do corpo anterior, então cada adjunção
é do tipo permitido (raiz quadrada).
Passo 7
Juntando tudo: construí uma torre de corpos
onde em cada passo eu adicionei uma raiz quadrada de um elemento já presente no passo anterior. O número pedido é um elemento de
(pois é
). Pelo fato teórico citado, isso basta para concluir que o número é construtível: ele foi obtido por uma sequência finita de adjunções de raízes quadradas a partir de
.
Resposta
O número
é construtível.