Calcule o volume do sólido gerado pela revolução do triangolo de vertices
e
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que aparece quando a gente gira um triângulo com vértices nas coordenadas
,
e
em torno do eixo
. Isso envolve conceitos de Cálculo Integral, mais especificamente, o método dos cilindros ou discos para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é o triângulo que estamos girando. Os vértices são
,
e
. Se você imaginar no plano cartesiano, temos um triângulo que vai do ponto
até
na base e sobe até
no topo. Esse triângulo será girado em torno do eixo
, então precisamos saber como suas bordas se comportam em relação ao eixo que está girando.
Passo 3
Para calcular o volume, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas). Esse método é útil quando o sólido é gerado pela rotação em torno do eixo vertical
. A ideia é considerar uma fatia vertical do triângulo em uma posição
, calcular o volume do cilindro gerado por essa fatia ao girar em torno do eixo
, e então somar todos esses volumes integrando de
a
.
A fórmula do volume pelo método dos cilindros é:
Onde:
-
é a distância da fatia ao eixo de rotação ( ). -
é a altura da fatia em função de . -
e são os limites de integração.
Passo 4
Agora, precisamos determinar a função
, que representa a altura da fatia do triângulo para cada valor de
entre 1 e 4.
Observando o triângulo:
- Para
, a borda superior do triângulo está definida pela reta que passa de a . - Para
, a borda superior está definida pela reta que passa de a .
Vamos encontrar as equações dessas retas.
Para
:
A inclinação da reta entre
e
é:
A inclinação
A equação da reta é:
Para
:
A inclinação da reta entre
e
é:
A inclinação
A equação da reta é:
Assim, a altura
do triângulo para cada intervalo de
é dada por:
Agora, vamos montar a integral dividindo-a em duas partes correspondentes aos dois intervalos de
.
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral (
):
Calculando nos limites:
Segunda integral (
):
Calculando nos limites:
Convertendo para denominador comum:
Agora, somando as duas integrais:
Resposta
O volume do sólido gerado pela revolução do triângulo em torno do eixo
é
unidades cúbicas.