Calcule o volume do sólido gerado pela revolução do triangolo de vertices (1,0),(2,1) e (4,0) em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que aparece quando a gente gira um triângulo com vértices nas coordenadas (1,0), (2,1) e (4,0) em torno do eixo y. Isso envolve conceitos de Cálculo Integral, mais especificamente, o método dos cilindros ou discos para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o triângulo que estamos girando. Os vértices são (1,0), (2,1) e (4,0). Se você imaginar no plano cartesiano, temos um triângulo que vai do ponto (1,0) até (4,0) na base e sobe até (2,1) no topo. Esse triângulo será girado em torno do eixo y, então precisamos saber como suas bordas se comportam em relação ao eixo que está girando.

Passo 3

Para calcular o volume, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas). Esse método é útil quando o sólido é gerado pela rotação em torno do eixo vertical y. A ideia é considerar uma fatia vertical do triângulo em uma posição x, calcular o volume do cilindro gerado por essa fatia ao girar em torno do eixo y, e então somar todos esses volumes integrando de x=1 a x=4.
A fórmula do volume pelo método dos cilindros é:
V = 2pi integrala^b x cdot h(x) , dx
Onde:
  • x é a distância da fatia ao eixo de rotação ( y).
  • h(x) é a altura da fatia em função de x.
  • a e b são os limites de integração.

Passo 4

Agora, precisamos determinar a função h(x), que representa a altura da fatia do triângulo para cada valor de x entre 1 e 4.
Observando o triângulo:
  • Para 1 <= x <= 2, a borda superior do triângulo está definida pela reta que passa de (1,0) a (2,1).
  • Para 2 <= x <= 4, a borda superior está definida pela reta que passa de (2,1) a (4,0).
Vamos encontrar as equações dessas retas.
Para 1 <= x <= 2:
A inclinação m da reta entre (1,0) e (2,1) é:
m = 1 - 02 - 1 = 1
A equação da reta é:
y = m(x - 1) = x - 1
Para 2 <= x <= 4:
A inclinação m da reta entre (2,1) e (4,0) é:
m = 0 - 14 - 2 = -12
A equação da reta é:
y = -12(x - 2) + 1 = -12x + 2
Assim, a altura h(x) do triângulo para cada intervalo de x é dada por:
h(x) = x - 1, & se 1 <= x <= 2 -12x + 2, & se 2 <= x <= 4
Agora, vamos montar a integral dividindo-a em duas partes correspondentes aos dois intervalos de x.
V = 2pi [ integral1^2 x (x - 1) , dx + integral2^4 x (-12x + 2) , dx ]
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral ( 1 <= x <= 2):
integral1^2 x (x - 1) , dx = integral1^2 (x^2 - x) , dx = [ x^33 - x^22 ]1^2
Calculando nos limites:
( 83 - 2 ) - ( 13 - 12 ) = ( 83 - 63 ) - ( 26 - 36 ) = 23 + 16 = 56
Segunda integral ( 2 <= x <= 4):
integral2^4 x (-12x + 2) , dx = integral2^4 ( -12x^2 + 2x ) , dx = [ -16x^3 + x^2 ]2^4
Calculando nos limites:
( -646 + 16 ) - ( -86 + 4 ) = ( -323 + 16 ) - ( -43 + 4 ) = ( 161 - 323 ) - ( 41 - 43 )
Convertendo para denominador comum:
( 483 - 323 ) - ( 123 - 43 ) = 163 - 83 = 83
Agora, somando as duas integrais:
56 + 83 = 56 + 166 = 216 = 72

Resposta

O volume do sólido gerado pela revolução do triângulo em torno do eixo y é boxed7, pi unidades cúbicas.

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