1. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pela curva y=ln x e pelas retas y=1 e x=2, quando ela gira em torno da reta y=-1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta y=-1 a região limitada pelas curvas y=ln x, y=1 e x=2. Aqui o conteúdo é o método dos discos (washers) para volumes de revolução, em que precisamos expressar o volume como
V = pi integrala^b l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx,
onde R(x) é o raio externo e r(x) o interno, medidos até o eixo de rotação.

Passo 2

Antes de montar a integral, determinamos o domínio em x. A reta y=1 intersecta y=ln x quando ln x=1, isto é, x=e. Juntando com a reta vertical x=2, vemos que a região está entre x=2 e x=e, com topo em y=1 e fundo em y=ln x.

Passo 3

Ao girar em torno de y=-1, o raio externo é a distância de y=-1 até y=1, que é
R = 1 - (-1) = 2
e o raio interno é a distância de y=-1 até y=ln x, ou seja
r(x) = ln x - (-1) = ln x + 1
Logo
V = pi integral2^e l[,2^2 - (ln x + 1)^2r],dx = pi integral2^e l[4 - (ln x +1)^2r],dx

Passo 4

Vamos calcular
integral l[4 - (ln x +1)^2r]dx = integral l[4 - (ln x)^2 -2ln x -1r]dx = integral l[3 - (ln x)^2 -2ln xr]dx
Usamos
integral ln x,dx = xln x - x, integral (ln x)^2dx = x(ln x)^2 -2xln x +2x
Portanto, integrando termo a termo, obtemos
integral l[3 - (ln x)^2 -2ln xr]dx = 3x - l[x(ln x)^2 -2xln x +2xr] -2l[xln x - xr] = -,x(ln x)^2 + 3x

Passo 5

Avaliamo entre x=2 e x=e:
em x=e -ecdot1^2 +3e = 2e,
em x=2 -2(ln2)^2 +6.
A diferença é
2e -l[-2(ln2)^2 +6r] = 2e +2(ln2)^2 -6
Multiplicando por pi, concluímos
V = pil(2e + 2(ln2)^2 - 6r) = 2pil(e + (ln2)^2 - 3r)

Resposta

V = 2pil(e + (ln2)^2 - 3r)

Exercícios relacionados