- Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pela curva
e pelas retas
e
, quando ela gira em torno da reta
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta
a região limitada pelas curvas
,
e
. Aqui o conteúdo é o método dos discos (washers) para volumes de revolução, em que precisamos expressar o volume como
onde
é o raio externo e
o interno, medidos até o eixo de rotação.
Passo 2
Antes de montar a integral, determinamos o domínio em
. A reta
intersecta
quando
, isto é,
. Juntando com a reta vertical
, vemos que a região está entre
e
, com topo em
e fundo em
.
Passo 3
Ao girar em torno de
, o raio externo é a distância de
até
, que é
e o raio interno é a distância de
até
, ou seja
Logo
Passo 4
Vamos calcular
Usamos
Portanto, integrando termo a termo, obtemos
Passo 5
Avaliamo entre
e
:
em dá
,
em dá
.
A diferença é
em
em
A diferença é
Multiplicando por
, concluímos