1. Determine o volume do sólido que se origina da rotação em torno do eixo- x, da região delimitada pela curva y=1raizx^2+x+2 e pelas retas x=0, y=0 e x=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região no primeiro quadrante limitada por
y = 1raizx^2 + x + 2, x=0, x=1, y=0
O método apropriado é o dos discos, em que o volume é
V = pi integrala^b l[y(x)r]^2,dx

Passo 2

Aplicando o método dos discos à nossa curva, temos
V = pi integral0^1 (1raizx^2 + x + 2)^2 dx = pi integral0^1 dxx^2 + x + 2

Passo 3

Para calcular
integral dxx^2 + x + 2, completamos o quadrado no denominador:
x^2 + x + 2 = l(x + tfrac12r)^2 + 2 - tfrac14 = l(x + tfrac12r)^2 + tfrac74
Logo, com u = x + tfrac12 e a = tfracraiz72,
integral dx(x+tfrac12)^2 + (tfracraiz72)^2 = integral duu^2 + a^2 = 1a,arctan!l(uar) + C = 2raiz7,arctan!l(2x+1raiz7r) + C

Passo 4

Avaliamo o integral definido de 0 a 1:
integral0^1 dxx^2 + x + 2 = 2raiz7,l[ arctan!l(tfrac2cdot1+1raiz7r) - arctan!l(tfrac2cdot0+1raiz7r) r] = 2raiz7,l[ arctan!l(tfrac3raiz7r) - arctan!l(tfrac1raiz7r) r]

Passo 5

Multiplicando por pi, obtemos o volume final:
V = pi integral0^1 dxx^2 + x + 2 = 2piraiz7,l[ arctan!l(tfrac3raiz7r) - arctan!l(tfrac1raiz7r) r]

Resposta

V = 2piraiz7,l[ arctan!l(tfrac3raiz7r) - arctan!l(tfrac1raiz7r) r]

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