Encontre lim h 0 f(x+h)-f(x)h para as seguintes funções:
f(x)=raiz3 x-6

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f em um ponto x a partir da definição de derivada
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Aqui f(x)=raiz3x-6. Como temos raízes, vamos usar racionalização para simplificar o quociente.

Passo 2

Escrevemos o quociente incremental:
f(x+h)-f(x)h = raiz3(x+h)-6-raiz3x-6h = raiz3x+3h-6-raiz3x-6h

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador:
raiz3x+3h-6-raiz3x-6h;cdot;raiz3x+3h-6+raiz3x-6raiz3x+3h-6+raiz3x-6

Passo 4

No numerador ocorre diferença de quadrados:
(raiz3x+3h-6)^2 - (raiz3x-6)^2 = (3x+3h-6)-(3x-6)=3h
Logo o quociente fica
3h,hl(raiz3x+3h-6+raiz3x-6r) = 3raiz3x+3h-6+raiz3x-6

Passo 5

Agora basta hto0:
limhto03raiz3x+3h-6+raiz3x-6 = 3raiz3x-6+raiz3x-6 = 32raiz3x-6

Resposta

limhto0f(x+h)-f(x)h = f'(x) = 32raiz3x-6

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