Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = \sqrt{x} $ é girada em torno do eixo $ y $. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre volumes de sólidos de revolução. Para isso, vamos precisar entender como usar o método dos cascos cilíndricos (também conhecido como método das cascas) para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = \sqrt{x} $ se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões:
Para resolver isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, trazemos tudo para um lado da equação:
Isso nos dá as soluções $ x = 0 $ e $ x = 1 $ (já que $ x^{3} - 1 = 0 $ quando $ x = 1 $). Então, as curvas se interceptam em $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Agora que sabemos que as curvas se encontram entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $, vamos visualizar a região que será girada em torno do eixo $ y $. Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno de um eixo vertical ou horizontal e envolve integrar placas cilíndricas que envolvem o eixo de rotação.
Passo 4
No método das cascas, a fórmula para o volume $ V $ é:
Aqui:
- $ x $ é a distância do elemento de casca ao eixo de rotação.
- $ f(x) $ e $ g(x) $ são as funções que delimitam a região, com $ f(x) $ sendo a função de cima e $ g(x) $ a de baixo.
- $ a $ e $ b $ são os limites de integração, que no nosso caso são $ 0 $ e $ 1 $.
Passo 5
Identificando $ f(x) $ e $ g(x) $ na nossa situação:
- $ f(x) = \sqrt{x} $ (essa é a curva que está por cima entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $)
- $ g(x) = x^{2} $ (essa é a curva que está por baixo)
Então, a fórmula para o volume fica:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada integral separadamente:
Então, a integral definida de $ 0 $ a $ 1 $ é:
Passo 8
Vamos calcular:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido gerado é $ \frac{3\pi}{10} $ unidades cúbicas.