Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y=x^2 e y=raizx em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = \sqrt{x} $ é girada em torno do eixo $ y $. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre volumes de sólidos de revolução. Para isso, vamos precisar entender como usar o método dos cascos cilíndricos (também conhecido como método das cascas) para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = \sqrt{x} $ se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões:
y = x^2
Para resolver isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
y = raizx
Agora, trazemos tudo para um lado da equação:
x^2 = raizx
Isso nos dá as soluções $ x = 0 $ e $ x = 1 $ (já que $ x^{3} - 1 = 0 $ quando $ x = 1 $). Então, as curvas se interceptam em $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se encontram entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $, vamos visualizar a região que será girada em torno do eixo $ y $. Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno de um eixo vertical ou horizontal e envolve integrar placas cilíndricas que envolvem o eixo de rotação.

Passo 4

No método das cascas, a fórmula para o volume $ V $ é:
V
Aqui:
  • $ x $ é a distância do elemento de casca ao eixo de rotação.
  • $ f(x) $ e $ g(x) $ são as funções que delimitam a região, com $ f(x) $ sendo a função de cima e $ g(x) $ a de baixo.
  • $ a $ e $ b $ são os limites de integração, que no nosso caso são $ 0 $ e $ 1 $.

Passo 5

Identificando $ f(x) $ e $ g(x) $ na nossa situação:
  • $ f(x) = \sqrt{x} $ (essa é a curva que está por cima entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $)
  • $ g(x) = x^{2} $ (essa é a curva que está por baixo)
Então, a fórmula para o volume fica:
f(x)

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
raizx = x^1/2 raizx - x^2 = x^1/2 - x^2 x cdot (x^1/2 - x^2) = x^3/2 - x^3
Então, a integral fica:
V = 2pi integral0^1 (x^3/2 - x^3) , dx

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
integral (x^3/2 - x^3) , dx = integral x^3/2 , dx - integral x^3 , dx
Calculando cada integral separadamente:
integral x^3/2 , dx = x^5/252 = 25 x^5/2 integral x^3 , dx = x^44
Então, a integral definida de $ 0 $ a $ 1 $ é:
0

Passo 8

Vamos calcular:
25 - 14 = 820 - 520 = 320
Então, o volume é:
V = 2pi cdot 320 = 6pi20 = 3pi10

Resposta

O volume do sólido gerado é $ \frac{3\pi}{10} $ unidades cúbicas.

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