O campo elétrico de um dipolo no vácuo, em coordenadas esféricas, é dado pela:
E(r, theta)=p4 pi epsilon0 r^3(2 cos theta widehatr+sin theta widehattheta)
Obtenha o valor de nabla cdot E.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente do campo elétrico de um dipolo no vácuo, expresso em coordenadas esféricas. O conteúdo aqui é o uso da fórmula do divergente em coordenadas esféricas, e vamos precisar identificar as componentes de vec E e aplicar a definição de nablacdotvec E.

Passo 2

A primeira coisa é escrever explicitamente as componentes de vec E:
A componente radial é
Er = p4piepsilon0,r^3(2costheta)
A componente polar ( theta) é
Etheta = p4piepsilon0,r^3(sintheta)
E a componente azimutal ( phi) vale zero:
Ephi = 0

Passo 3

Em coordenadas esféricas o divergente de um campo vec E = Er,hat r + Etheta,hattheta + Ephi,hatphi é dado por:
$$
\nabla\cdot\vec E =
\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 E_r)
+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta,E_\theta)
+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial E_\phi}{\partial\phi}
$$

Passo 4

Agora substituímos as componentes. Primeiro termo:
r^2 Er = r^2p4piepsilon0,r^3(2costheta) = 2pcostheta4piepsilon0,r
1r^2partialpartial r(r^2 Er) = 1r^2partialpartial rl(2pcostheta4piepsilon0,rr) = 1r^2l(-2pcostheta4piepsilon0,r^2r) = -2pcostheta4piepsilon0,r^4

Passo 5

Segundo termo:
sintheta,Etheta = sinthetap4piepsilon0,r^3(sintheta) = p4piepsilon0,r^3sin^2theta
1rsinthetapartialpartialtheta(sintheta,Etheta) = 1rsinthetapartialpartialthetal(p4piepsilon0,r^3sin^2thetar) = 1rsinthetal(p4piepsilon0,r^3cdot 2sinthetacosthetar) = 2pcostheta4piepsilon0,r^4

Passo 6

O terceiro termo é zero porque Ephi=0. Somando os dois primeiros termos:
nablacdotvec E = -2pcostheta4piepsilon0,r^4 + 2pcostheta4piepsilon0,r^4 = 0
Isso vale para rneq0, ou seja, fora da origem.

Passo 7

O resultado mostra que, em todo ponto do espaço que não seja a origem, o divergente do campo de um dipolo ideal é zero. (Na origem há singularidade, mas fora dela nablacdotvec E=0.)

Resposta

nablacdotvec E = 0 (para rneq0).

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