O campo elétrico de um dipolo no vácuo, em coordenadas esféricas, é dado pela:
Obtenha o valor de
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o divergente do campo elétrico de um dipolo no vácuo, expresso em coordenadas esféricas. O conteúdo aqui é o uso da fórmula do divergente em coordenadas esféricas, e vamos precisar identificar as componentes de
e aplicar a definição de
.
Passo 2
A primeira coisa é escrever explicitamente as componentes de
:
A componente radial é
A componente polar (
) é
E a componente azimutal (
) vale zero:
Passo 3
Em coordenadas esféricas o divergente de um campo
é dado por:
$$
\nabla\cdot\vec E =
\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 E_r)
+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta,E_\theta)
+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial E_\phi}{\partial\phi}
\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 E_r)
+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta,E_\theta)
+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial E_\phi}{\partial\phi}
$$
Passo 4
Agora substituímos as componentes. Primeiro termo:
Passo 5
Segundo termo:
Passo 6
O terceiro termo é zero porque
. Somando os dois primeiros termos:
Isso vale para
, ou seja, fora da origem.
Passo 7
O resultado mostra que, em todo ponto do espaço que não seja a origem, o divergente do campo de um dipolo ideal é zero. (Na origem há singularidade, mas fora dela
.)