Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas curvas dadas.
y=18 x^2, y=2, x=0

Passo 1

Estamos calculando o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo y a região limitada pelas curvas y=tfrac18x^2, y=2 e x=0. O conteúdo principal é cálculo de volume por rotação e vamos usar o método das cascas cilíndricas, que integra as áreas laterais de tiras verticais.

Passo 2

Determinamos os limites de integração em x. A interseção entre y=tfrac18x^2 e y=2 ocorre quando tfrac18x^2=2, isto é, x^2=16, logo x=4. Portanto, x varia de 0 até 4.

Passo 3

Pelo método das cascas cilíndricas, o volume satisfaz
V = 2pi integrala^b (raio) cdot (a
Aqui o raio é x e a altura é a diferença entre as curvas, isto é,
a
Substituindo os limites a=0 e b=4, obtemos
V = 2pi integral0^4 xl(2 - tfrac18x^2r),dx

Passo 4

Expandindo e separando a integral:
V = 2pi l(integral0^4 2x , dx ;−; integral0^4 tfrac18x^3 , dxr)
Calculando cada parte:
integral0^4 2x , dx = x^2 |0^4 = 16,
integral0^4 tfrac18x^3 , dx = tfrac18 cdot x^44 |0^4 = 8
Substituindo de volta:
V = 2pil(16 - 8r)

Resposta

16pi

Exercícios relacionados