Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo
da região delimitada pelas curvas dadas.
Passo 1
Estamos calculando o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo
a região limitada pelas curvas
,
e
. O conteúdo principal é cálculo de volume por rotação e vamos usar o método das cascas cilíndricas, que integra as áreas laterais de tiras verticais.
Passo 2
Determinamos os limites de integração em
. A interseção entre
e
ocorre quando
, isto é,
, logo
. Portanto,
varia de 0 até 4.
Passo 3
Pelo método das cascas cilíndricas, o volume satisfaz
Aqui o raio é
e a altura é a diferença entre as curvas, isto é,
Substituindo os limites
e
, obtemos
Passo 4
Expandindo e separando a integral:
Calculando cada parte:
Substituindo de volta: