Escreva o divergente de um campo vetorial bidimensional em coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever o divergente de um campo vetorial bidimensional usando coordenadas polares. Então, vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com o conceito de divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o divergente em coordenadas polares, que são diferentes das coordenadas cartesianas que a gente usa no dia a dia.

Passo 2

Primeiro, lembra o que é o divergente? É uma medida que indica o quanto um campo vetorial está “se expandindo” ou “se contraindo” em um ponto. Em coordenadas cartesianas, a fórmula é bem conhecida, mas em coordenadas polares, que usam o raio $ r $ e o ângulo $ \theta $, a gente precisa ajustar a fórmula para levar em conta essa mudança de sistema.

Passo 3

Em coordenadas polares, um campo vetorial bidimensional pode ser representado com duas componentes: uma radial $ F_r $ e uma angular $ F_\theta $. A fórmula do divergente nesse sistema leva em consideração como essas componentes variam em relação a $ r $ e $ \theta $.

Passo 4

A fórmula do divergente $ div , \mathbf{F} $ em coordenadas polares é dada por:
div , F
Aqui, a primeira parte $ \frac{1}{r} \frac{\partial (r F_r)}{\partial r} $ considera a variação da componente radial, ajustada pelo fator $ r $, e a segunda parte $ \frac{1}{r} \frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} $ leva em conta a variação da componente angular.

Resposta

Portanto, o divergente de um campo vetorial bidimensional em coordenadas polares é:
div , F = 1r partial (r Fr)partial r + 1r partial Fthetapartial theta

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