Questão 3:
Seja C subset R^3 a hélice circular parametrizada por (cos t, sin t, t), 0 <= t <= 2 pi. Calcule integralC y sin z d s.
(a) 3 pi
(b) 2 pi
© 3 pi / 2
(d) 2 pi / 3
(e) raiz2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma curva no espaço tridimensional definida pela hélice para variando de 0 a . O que a gente precisa calcular é a integral de linha . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa r'(t) = ( ddt cos t, ddt sin t, ddt t ) = (-sin t, cos t, 1) . Na integral de linha, representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva. Para calcular , usamos a derivada da parametrização da curva em relação a .
Nossa curva é . Vamos derivar cada componente em relação a :

Passo 3

Agora, calculamos a magnitude da derivada | r'(t) | = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 + (1)^2 = raizsin^2 t + cos^2 t + 1 = raiz1 + 1 = raiz2 , que nos dá o valor de :
Então, .

Passo 4

Vamos substituir os valores de y = sin t e z = t e na integral. Da parametrização, temos:
Portanto, .

Passo 5

Agora, montamos a integral substituindo tudo:
integralC y sin z , ds = integral0^2pi sin^2 t cdot raiz2 , dt = raiz2 integral0^2pi sin^2 t , dt

Passo 6

Para resolver sin^2 t = 1 - cos(2t)2 , usamos a identidade trigonométrica:
raiz2 integral0^2pi 1 - cos(2t)2 , dt = raiz22 integral0^2pi (1 - cos(2t)) , dt
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
raiz22 [ integral0^2pi 1 , dt - integral0^2pi cos(2t) , dt ] = raiz22 [ 2pi - 0 ] = raiz22 cdot 2pi = raiz2 pi

Resposta

A resposta correta é a opção (e) .

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