Questão 3:
Seja
a hélice circular parametrizada por
. Calcule
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Seja
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma curva
no espaço tridimensional definida pela hélice
para
variando de 0 a
. O que a gente precisa calcular é a integral de linha
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, e parametrização de curvas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Na integral de linha,
representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva. Para calcular
, usamos a derivada da parametrização da curva em relação a
.
Nossa curva é
. Vamos derivar cada componente em relação a
:
Passo 3
Agora, calculamos a magnitude da derivada
, que nos dá o valor de
:
Então,
.
Passo 4
Vamos substituir os valores de
e
na integral. Da parametrização, temos:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, montamos a integral substituindo tudo:
Passo 6
Para resolver
, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Resposta
A resposta correta é a opção (e)
.