Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo
da região delimitada pelas curvas dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o volume de um sólido que é formado ao rotacionar uma região em torno do eixo
. Essa região é delimitada pelas curvas
,
(que é o eixo
), e
.
Matéria envolvida: Cálculo de volumes de sólidos de revolução usando o método dos discos ou cilindros.
O que vamos precisar: Entender como configurar a integral para calcular o volume quando rotacionamos uma região em torno de um eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva
é uma parábola que abre para a direita. A linha
é o eixo
, e
é uma linha vertical. Então, a região está entre
e
, debaixo da parábola.
Passo 3
Como vamos rotacionar essa região em torno do eixo
, o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas) é bem apropriado. Esse método envolve integrar a circunferência dos cilindros multiplicada pela altura deles.
Passo 4
Vamos lembrar a fórmula do método das cascas cilíndricas para rotacionar em torno do eixo
:
Aqui,
é a distância do cilindro ao eixo
, e
é a altura do cilindro.
Passo 5
Identificando
na nossa situação: a altura do cilindro é dada por
. Os limites de integração são de
a
.
Passo 6
Substituindo na formula:
Simplificando a expressão
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.