Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas curvas dadas.
y=raizx, y=0, x=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o volume de um sólido que é formado ao rotacionar uma região em torno do eixo . Essa região é delimitada pelas curvas , (que é o eixo ), e .
Matéria envolvida: Cálculo de volumes de sólidos de revolução usando o método dos discos ou cilindros.
O que vamos precisar: Entender como configurar a integral para calcular o volume quando rotacionamos uma região em torno de um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva é uma parábola que abre para a direita. A linha é o eixo , e é uma linha vertical. Então, a região está entre e , debaixo da parábola.

Passo 3

Como vamos rotacionar essa região em torno do eixo , o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas) é bem apropriado. Esse método envolve integrar a circunferência dos cilindros multiplicada pela altura deles.

Passo 4

Vamos lembrar a fórmula do método das cascas cilíndricas para rotacionar em torno do eixo V = 2pi integrala^b x cdot f(x) , dx :
Aqui, é a distância do cilindro ao eixo , e é a altura do cilindro.

Passo 5

Identificando na nossa situação: a altura do cilindro é dada por . Os limites de integração são de a .

Passo 6

Substituindo na formula:
V = 2pi integral0^1 x cdot raizx , dx
Simplificando a expressão x cdot raizx = x cdot x^1/2 = x^3/2 :
V = 2pi integral0^1 x^3/2 , dx
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral x^3/2 , dx = 25 x^5/2 + C
Aplicando os limites de 0 a 1:
V = 2pi [ 25 (1)^5/2 - 25 (0)^5/2 ] = 2pi ( 25 ) = 4pi5

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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