Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas curvas dadas.
y=x^3, y=0, x=1, x=2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região no plano limitada por y = x³, y = 0, x = 1 e x = 2. O conteúdo principal aqui é o cálculo de volumes por rotação usando o método dos cascos cilíndricos.

Passo 2

No método dos cascos cilíndricos para rotação em torno do eixo y, cada cilindro tem raio r(x) igual à distância da reta x = 0 até o ponto x, ou seja r(x) = x, e altura h(x) igual à diferença entre a função superior e a inferior, aqui h(x) = x³ − 0 = x³. A expressão geral do volume é
V = 2pi integrala^b r(x),h(x),dx

Passo 3

Identificamos os limites de integração como a = 1 e b = 2. Então r(x) = x e h(x) = x³. Substituindo na fórmula do volume:
V = 2pi integral1^2 x cdot x^3,dx = 2pi integral1^2 x^4,dx

Passo 4

Agora basta calcular a integral. Primeiro achamos o antiderivado:
integral x^4,dx = x^55
e avaliamos de 1 a 2:
x^55|1^2 = 2^55 - 1^55 = 32 - 15 = 315

Passo 5

Multiplicando pelo fator 2π, obtemos
V = 2pi cdot 315 = 62pi5

Resposta

V = 62pi5

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