Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo
da região delimitada pelas curvas dadas.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região no plano limitada por y = x³, y = 0, x = 1 e x = 2. O conteúdo principal aqui é o cálculo de volumes por rotação usando o método dos cascos cilíndricos.
Passo 2
No método dos cascos cilíndricos para rotação em torno do eixo y, cada cilindro tem raio r(x) igual à distância da reta x = 0 até o ponto x, ou seja r(x) = x, e altura h(x) igual à diferença entre a função superior e a inferior, aqui h(x) = x³ − 0 = x³. A expressão geral do volume é
Passo 3
Identificamos os limites de integração como a = 1 e b = 2. Então r(x) = x e h(x) = x³. Substituindo na fórmula do volume:
Passo 4
Agora basta calcular a integral. Primeiro achamos o antiderivado:
e avaliamos de 1 a 2:
Passo 5
Multiplicando pelo fator 2π, obtemos