Calcule o volume do sólido gerado, pela rotação em torno do eixo x=0, da região delimitada pela curva y=5 x-x^{2}, e pela reta y=x.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A região é delimitada pelas curvas \,y=5x-x^{2}\, e \,y=x\,.
  • O sólido é gerado pela rotação dessa região em torno da reta \,x=0\, (ou seja, o eixo vertical que passa pela origem).
  • O que o enunciado pede: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As duas curvas são dadas explicitamente em função de x.
  • O eixo de rotação é vertical ( x=0).
  • Preciso determinar a região de x que fica entre as duas curvas (pontos de interseção) para montar a integral.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre \,y=5x-x^{2}\, e \,y=x\, para obter os limites de integração.
Igualando as duas expressões:
5x - x^{2} = x
Colocando tudo num lado:
5x - x^{2} - x = 0 \quad\Rightarrow\quad 4x - x^{2} = 0
Fatorando:
x(4 - x) = 0
Logo os pontos de interseção são
x=0 \quad\text{e}\quad x=4.
Portanto a região entre as curvas está para x em [0,4].

Passo 3

Escolha do método de integração para volume.
  • Opções típicas: método dos discos/aros (integração em y para um eixo vertical) ou método das cascas cilíndricas (shells) integrando em x.
  • Como as curvas estão dadas por y em função de x e o eixo de rotação é vertical ( x=0), o método das cascas cilíndricas é mais direto: mantém a integração em x e evita isolar x em função de y.
  • Então vou usar o método das cascas cilíndricas.

Passo 4

Explicar o método das cascas cilíndricas (fórmula e significado das quantidades).
Considere uma fita vertical, na posição x, de largura infinitesimal dx. Ao girar essa fita em torno de \,x=0\, obtemos uma casca cilíndrica cuja:
  • raio (distância do eixo de rotação) é \,r=x\,,
  • altura é a diferença entre as curvas (valor superior menos valor inferior): \,h(x)=\big(5x-x^{2}\big)-x=4x-x^{2},
  • espessura é dx.
A área lateral aproximada da casca é 2\pi r\,h(x) e o volume dessa casca é
dV = 2\pi r\,h(x)\,dx = 2\pi x\big(4x-x^{2}\big)\,dx.
Integrando as cascas de x=a até x=b dá o volume total:
V = 2\pi \int_{a}^{b} x\,h(x)\,dx.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao nosso caso com os limites encontrados ( a=0, b=4) e com h(x)=4x-x^{2}.
Montando a integral:
V = 2\pi \int_{0}^{4} x\big(4x - x^{2}\big)\,dx.

Passo 6

Simplificar o integrando antes de integrar.
Multiplicando:
x\big(4x - x^{2}\big) = 4x^{2} - x^{3}.
Então a integral fica
V = 2\pi \int_{0}^{4} \big(4x^{2} - x^{3}\big)\,dx.

Passo 7

Calcular a integral definida passo a passo.
Calcular a antiderivada:
\int \big(4x^{2} - x^{3}\big)\,dx = \int 4x^{2}\,dx - \int x^{3}\,dx = \frac{4x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}.
Avaliar de 0 a 4:
\left.\left(\frac{4x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}\right)\right|_{0}^{4} = \left(\frac{4\cdot 4^{3}}{3} - \frac{4^{4}}{4}\right) - 0.
Calcule cada termo:
4^{3}=64,\quad 4\cdot 64 = 256 \quad\Rightarrow\quad \frac{256}{3}.
E
4^{4}=256,\quad \frac{256}{4}=64.
Subtraindo:
\frac{256}{3} - 64 = \frac{256 - 192}{3} = \frac{64}{3}.
Portanto
\int_{0}^{4} \big(4x^{2} - x^{3}\big)\,dx = \frac{64}{3}.

Passo 8

Retornar ao volume usando o fator 2\pi.
Pelo Passo 6 e Passo 7:
V = 2\pi \cdot \frac{64}{3}.

Passo 9

Pequeno comentário de verificação (sanity check) e incentivo.
  • O integrando é não-negativo em [0,4] porque a altura 4x-x^{2} é não-negativa nesse intervalo (de fato zera nas extremidades x=0 e x=4), então o volume positivo faz sentido.
  • Excelente — você já percorreu todos os passos de montagem e cálculo da integral. Continue assim, tá indo bem!

Resposta

\dfrac{128\pi}{3}

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