Portanto a região entre as curvas está para x em [0,4].
Passo 3
Escolha do método de integração para volume.
Opções típicas: método dos discos/aros (integração em y para um eixo vertical) ou método das cascas cilíndricas (shells) integrando em x.
Como as curvas estão dadas por y em função de x e o eixo de rotação é vertical (x=0), o método das cascas cilíndricas é mais direto: mantém a integração em x e evita isolar x em função de y.
Então vou usar o método das cascas cilíndricas.
Passo 4
Explicar o método das cascas cilíndricas (fórmula e significado das quantidades).
Considere uma fita vertical, na posição x, de largura infinitesimal dx. Ao girar essa fita em torno de \,x=0\, obtemos uma casca cilíndrica cuja:
raio (distância do eixo de rotação) é \,r=x\,,
altura é a diferença entre as curvas (valor superior menos valor inferior): \,h(x)=\big(5x-x^{2}\big)-x=4x-x^{2},
espessura é dx.
A área lateral aproximada da casca é 2\pi r\,h(x) e o volume dessa casca é
dV = 2\pi r\,h(x)\,dx = 2\pi x\big(4x-x^{2}\big)\,dx.
Integrando as cascas de x=a até x=b dá o volume total:
V = 2\pi \int_{a}^{b} x\,h(x)\,dx.
Passo 5
Aplicar a fórmula ao nosso caso com os limites encontrados (a=0, b=4) e com h(x)=4x-x^{2}.
Montando a integral:
V = 2\pi \int_{0}^{4} x\big(4x - x^{2}\big)\,dx.
Passo 6
Simplificar o integrando antes de integrar.
Multiplicando:
x\big(4x - x^{2}\big) = 4x^{2} - x^{3}.
Então a integral fica
V = 2\pi \int_{0}^{4} \big(4x^{2} - x^{3}\big)\,dx.
Pequeno comentário de verificação (sanity check) e incentivo.
O integrando é não-negativo em [0,4] porque a altura 4x-x^{2} é não-negativa nesse intervalo (de fato zera nas extremidades x=0 e x=4), então o volume positivo faz sentido.
Excelente — você já percorreu todos os passos de montagem e cálculo da integral. Continue assim, tá indo bem!