Calcule o volume do sólido gerado, pela rotação em torno do eixo
, da região delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno da reta
, da região limitada pelas curvas
e
. Informações importantes dadas:
- Curvas:
e . - Eixo de rotação:
. - É preciso calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
O que preciso determinar antes de integrar:
- Os pontos de interseção (limites de integração) entre as duas curvas.
- Qual curva está acima da outra no intervalo entre as interseções (para determinar raios).
- A forma adequada de configurar a integral para o volume.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das curvas resolvendo
Para
(as duas funções são não-negativas), eleva-se ambos os lados à quarta potência:
Isso dá
Logo as soluções são
e
. Portanto os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Determinar qual curva é a de cima (maior
) para
.
Escolhe-se um ponto teste, por exemplo :
Escolhe-se um ponto teste, por exemplo
Assim, para
vale
. Portanto, no intervalo
,
- curva superior:
, - curva inferior:
.
Passo 4
Escolher o método de cálculo do volume. Como o eixo de rotação é horizontal (
) e as funções são dadas como
, o método dos discos/anéis (washers), integrando em
, é direto e conveniente.
Recordando a fórmula dos anéis: se, para cada
, a rotação produz um anel de raio externo
e raio interno
, o volume é
Aqui
e
são os limites em
(aqui
e
).
Passo 5
Determinar os raios em função de
. A distância vertical entre um ponto
e a reta
é
. Para
temos
para ambas as curvas, portanto a distância é
.
- Raio externo
é a distância do eixo até a curva que está mais distante do eixo. Como a curva inferior fica mais abaixo (menor ), ela está mais longe do eixo, então
- Raio interno
é a distância do eixo até a curva superior , logo
Assim a área transversal do anel é
Passo 6
Montar a integral do volume com os limites
a
:
Expandir os quadrados para simplificar a integração:
Subtraindo,
Portanto
Passo 7
Integrar termo a termo. Lembre: para uma potência
com
,
Aplicando isso a cada termo:
Portanto a primitiva é
Passo 8
Avaliar a primitiva entre
e
:
Calcular
:
Colocando em denominador comum
:
E
. Logo a integral vale
.
Multiplicando por
,
Passo 9
Cheque rápido de coerência: o resultado é positivo, pequeno (menos de
), o que faz sentido dado que a região está entre
e
sobre
. A montagem usando anéis foi direta porque o eixo de rotação é horizontal e as funções estavam em termos de
.