Calcule o volume do sólido gerado, pela rotação em torno do eixo y=1, da região delimitada pelas curvas y=\sqrt[4]{x} e y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno da reta y=1, da região limitada pelas curvas y=\sqrt[4]{x} e y=x^{2}. Informações importantes dadas:
  • Curvas: y=\sqrt[4]{x} e y=x^{2}.
  • Eixo de rotação: y=1.
  • É preciso calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
O que preciso determinar antes de integrar:
  • Os pontos de interseção (limites de integração) entre as duas curvas.
  • Qual curva está acima da outra no intervalo entre as interseções (para determinar raios).
  • A forma adequada de configurar a integral para o volume.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas resolvendo
\sqrt[4]{x}=x^{2}.
Para x\ge0 (as duas funções são não-negativas), eleva-se ambos os lados à quarta potência:
\left(\sqrt[4]{x}\right)^{4}=(x^{2})^{4}\quad\Rightarrow\quad x=x^{8}.
Isso dá
x^{8}-x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x^{7}-1)=0.
Logo as soluções são x=0 e x^{7}=1\Rightarrow x=1. Portanto os pontos de interseção são x=0 e x=1.

Passo 3

Determinar qual curva é a de cima (maior y) para 0\le x\le1.
Escolhe-se um ponto teste, por exemplo x=\tfrac{1}{4}:
\sqrt[4]{\tfrac{1}{4}}=(\tfrac{1}{4})^{1/4}\approx0,707\quad\text{e}\quad (\tfrac{1}{4})^{2}= \tfrac{1}{16}=0,0625.
Assim, para 0<x<1 vale \sqrt[4]{x}>x^{2}. Portanto, no intervalo [0,1],
  • curva superior: y_{\text{top}}=\sqrt[4]{x},
  • curva inferior: y_{\text{bot}}=x^{2}.

Passo 4

Escolher o método de cálculo do volume. Como o eixo de rotação é horizontal ( y=1) e as funções são dadas como y=f(x), o método dos discos/anéis (washers), integrando em x, é direto e conveniente.
Recordando a fórmula dos anéis: se, para cada x, a rotação produz um anel de raio externo R(x) e raio interno r(x), o volume é
V=\pi\int_{a}^{b}\bigl(R(x)^{2}-r(x)^{2}\bigr)\,dx.
Aqui a e b são os limites em x (aqui 0 e 1).

Passo 5

Determinar os raios em função de x. A distância vertical entre um ponto (x,y) e a reta y=1 é |1-y|. Para 0\le x\le1 temos y\le1 para ambas as curvas, portanto a distância é 1-y.
  • Raio externo R(x) é a distância do eixo y=1 até a curva que está mais distante do eixo. Como a curva inferior y=x^{2} fica mais abaixo (menor y), ela está mais longe do eixo, então
R(x)=1-x^{2}.
  • Raio interno r(x) é a distância do eixo até a curva superior y=\sqrt[4]{x}, logo
r(x)=1-\sqrt[4]{x}.
Assim a área transversal do anel é
\pi\bigl(R(x)^{2}-r(x)^{2}\bigr)=\pi\Bigl((1-x^{2})^{2}-(1-\sqrt[4]{x})^{2}\Bigr).

Passo 6

Montar a integral do volume com os limites x=0 a x=1:
V=\pi\int_{0}^{1}\Bigl((1-x^{2})^{2}-(1-\sqrt[4]{x})^{2}\Bigr)\,dx.
Expandir os quadrados para simplificar a integração:
(1-x^{2})^{2}=1-2x^{2}+x^{4}, \qquad (1-\sqrt[4]{x})^{2}=1-2x^{1/4}+x^{1/2}.
Subtraindo,
(1-x^{2})^{2}-(1-\sqrt[4]{x})^{2} = -2x^{2}+x^{4}+2x^{1/4}-x^{1/2}.
Portanto
V=\pi\int_{0}^{1}\bigl(2x^{1/4}-x^{1/2}-2x^{2}+x^{4}\bigr)\,dx.

Passo 7

Integrar termo a termo. Lembre: para uma potência x^{a} com a\neq-1,
\int x^{a}\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}.
Aplicando isso a cada termo:
  • \displaystyle \int 2x^{1/4}\,dx = 2\cdot\frac{x^{1/4+1}}{1/4+1}=2\cdot\frac{x^{5/4}}{5/4}= \frac{8}{5}x^{5/4}.
  • \displaystyle \int -x^{1/2}\,dx = -\frac{x^{3/2}}{3/2}= -\frac{2}{3}x^{3/2}.
  • \displaystyle \int -2x^{2}\,dx = -2\cdot\frac{x^{3}}{3}= -\frac{2}{3}x^{3}.
  • \displaystyle \int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}.
Portanto a primitiva é
F(x)=\frac{8}{5}x^{5/4}-\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{2}{3}x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}.

Passo 8

Avaliar a primitiva entre 0 e 1:
\int_{0}^{1}\bigl(2x^{1/4}-x^{1/2}-2x^{2}+x^{4}\bigr)\,dx = F(1)-F(0).
Calcular F(1):
F(1)=\frac{8}{5}-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\left(\frac{8}{5}+\frac{1}{5}\right)-\frac{4}{3}=\frac{9}{5}-\frac{4}{3}.
Colocando em denominador comum 15:
\frac{9}{5}-\frac{4}{3}=\frac{27}{15}-\frac{20}{15}=\frac{7}{15}.
E F(0)=0. Logo a integral vale \dfrac{7}{15}.
Multiplicando por \pi,
V=\pi\cdot\frac{7}{15}=\frac{7\pi}{15}.

Passo 9

Cheque rápido de coerência: o resultado é positivo, pequeno (menos de \pi), o que faz sentido dado que a região está entre y=0 e y=1 sobre 0\le x\le1. A montagem usando anéis foi direta porque o eixo de rotação é horizontal e as funções estavam em termos de x.

Resposta

\dfrac{7\pi}{15}

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