Determine:
Uma função
tal que
e
Uma função
Passo 1
O enunciado dá uma equação envolvendo a derivada de uma função
e uma condição inicial. As informações são:
- Equação:
. - Condição inicial:
.
O que é pedido: determinar a função
que satisfaz a equação e a condição inicial.
Passo 2
Isolar a derivada para ver melhor o que integrar. Subtraindo
dos dois lados:
Comentário rápido e amigo: aqui
significa a taxa de variação de
em relação a
. Para encontrar
a partir de
usamos integração, pois integrar é a operação inversa de derivar.
Passo 3
Aplicar integração em ambos os lados em relação a
. A propriedade básica é
, onde
é a constante de integração. Então:
que nos dá
Aqui
representa uma constante desconhecida que será determinada pela condição inicial.
Passo 4
Calcular a integral
passo a passo usando substituição (método simples e padrão para integrais com uma função composta):
- Primeiro fatorar o constante:
- Fazer a substituição
. Então e . - Substituindo:
- Saber a primitiva de
: (porque ). Portanto
- Retornando à variável
(porque ):
Assim, da Passo 3, obtemos a forma geral (com constante
):
Passo 5
Determinar a constante
usando a condição inicial
.
- Avaliar a expressão geral em
:
- Igualando à condição
:
Passo 6
Agora que encontramos
, temos a solução particular procurada. (A resposta final com a expressão da função está na seção de resposta abaixo.)