Determine:
Uma função \mathrm{f}(\mathrm{x}) tal que \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})+6 \operatorname{sen}(3 \mathrm{x})=0 e \mathrm{f}(0)=5

Passo 1

O enunciado dá uma equação envolvendo a derivada de uma função f e uma condição inicial. As informações são:
  • Equação: f^{\prime}(x)+6\operatorname{sen}(3x)=0.
  • Condição inicial: f(0)=5.
O que é pedido: determinar a função f(x) que satisfaz a equação e a condição inicial.

Passo 2

Isolar a derivada para ver melhor o que integrar. Subtraindo 6\operatorname{sen}(3x) dos dois lados:
f^{\prime}(x) = -6\operatorname{sen}(3x).
Comentário rápido e amigo: aqui f^{\prime}(x) significa a taxa de variação de f em relação a x. Para encontrar f a partir de f' usamos integração, pois integrar é a operação inversa de derivar.

Passo 3

Aplicar integração em ambos os lados em relação a x. A propriedade básica é \int f'(x)\,dx = f(x) + C, onde C é a constante de integração. Então:
\int f^{\prime}(x)\,dx = \int -6\operatorname{sen}(3x)\,dx
que nos dá
f(x) = \int -6\operatorname{sen}(3x)\,dx + C.
Aqui C representa uma constante desconhecida que será determinada pela condição inicial.

Passo 4

Calcular a integral \displaystyle \int -6\operatorname{sen}(3x)\,dx passo a passo usando substituição (método simples e padrão para integrais com uma função composta):
  • Primeiro fatorar o constante: \displaystyle \int -6\operatorname{sen}(3x)\,dx = -6\int \operatorname{sen}(3x)\,dx.
  • Fazer a substituição u=3x. Então du = 3\,dx e dx=\dfrac{du}{3}.
  • Substituindo:
-6\int \operatorname{sen}(3x)\,dx = -6\int \operatorname{sen}(u)\cdot \frac{du}{3} = -2\int \operatorname{sen}(u)\,du.
  • Saber a primitiva de \operatorname{sen}: \displaystyle \int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos u (porque \dfrac{d}{du}(\cos u) = -\operatorname{sen} u). Portanto
-2\int \operatorname{sen}(u)\,du = -2(-\cos u) = 2\cos u.
  • Retornando à variável x (porque u=3x):
\int -6\operatorname{sen}(3x)\,dx = 2\cos(3x).
Assim, da Passo 3, obtemos a forma geral (com constante C):
f(x)=2\cos(3x)+C.

Passo 5

Determinar a constante C usando a condição inicial f(0)=5.
  • Avaliar a expressão geral em x=0:
f(0) = 2\cos(3\cdot 0) + C = 2\cos(0) + C = 2\cdot 1 + C = 2 + C.
  • Igualando à condição f(0)=5:
2 + C = 5 \quad\Rightarrow\quad C = 3.

Passo 6

Agora que encontramos C, temos a solução particular procurada. (A resposta final com a expressão da função está na seção de resposta abaixo.)

Resposta

f(x)=2\cos(3x)+3

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