Verifique convergência das séries por teste comparação:
sumn=1^+infty 32 n-raizn

Passo 1

No enunciado temos a série sumn=1^infty32n-raizn. O conteúdo aqui é convergência de séries numéricas e vamos usar o teste de comparação pelo limite, que diz que se an>0, bn>0 e L=limntoinftyanbn existe e 0, então sum an e sum bn são simultaneamente convergentes ou divergentes.

Passo 2

Para aplicar o teste, identificamos o termo geral an=32n-raizn. Observando que, para n grande, o termo dominante no denominador é 2n, fica intuitivo comparar com a série harmônica sumn=1^infty1n, cuja convergência a gente já conhece (ela diverge). Definimos bn=1n.

Passo 3

Calculamos o limite de comparação:
L=limntoinftyanbn=limntoinfty3/(2n-raizn)1/n =limntoinfty3n2n-raizn=limntoinfty32-1/raizn=32

Passo 4

Como obtivemos 0 e sabemos que sum bn=sum1/n diverge, o teste de comparação pelo limite garante que sum an também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty32n-raizn diverge.

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