Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta
da região delimitada pelas curvas dadas.
Passo 1
Temos a região no primeiro quadrante limitada pelas retas x=1, x=2, pela reta y=0 e pela curva y=x, que vai ser rotacionada em torno da reta horizontal y=2. O conteúdo aqui é volume de sólidos de revolução usando o método dos discos (ou arcos), e vamos precisar aplicar a fórmula de volume por integração de seções transversais perpendiculares ao eixo de rotação.
Passo 2
Para usar o método dos discos, imaginamos fatias verticais de espessura dx. Cada fatia, ao girar em torno de y=2, gera um anel (um disco com furo no meio). A área desse anel num ponto x é dada por π\bigl(R(x)^2 - r(x)^2\bigr), onde R(x) é o raio externo e r(x) é o raio interno.
Precisamos determinar as distâncias do eixo y=2 até as curvas que limitam a região em cada x. A curva de cima da região é y=x, então o raio interno é r(x)= distância entre y=2 e y=x, ou seja, r(x)=2−x. A curva de baixo é y=0, gerando o raio externo R(x)= distância entre y=2 e y=0, ou seja, R(x)=2.
Precisamos determinar as distâncias do eixo y=2 até as curvas que limitam a região em cada x. A curva de cima da região é y=x, então o raio interno é r(x)= distância entre y=2 e y=x, ou seja, r(x)=2−x. A curva de baixo é y=0, gerando o raio externo R(x)= distância entre y=2 e y=0, ou seja, R(x)=2.
Passo 3
Montamos então o volume como integral de x=1 até x=2 da área do anel:
Passo 4
Agora basta calcular a integral: primeiro expandimos o integrando:
Então
Avaliaremos em x=2 e em x=1:
Em x=2: .
Em x=1: .
Subtraindo, obtemos , multiplicado por π.
Em x=2:
Em x=1:
Subtraindo, obtemos
Passo 5
Concluímos que o volume do sólido gerado pela rotação é
.