Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta y=2 da região delimitada pelas curvas dadas.
y=x, y=0, x=1, x=2

Passo 1

Temos a região no primeiro quadrante limitada pelas retas x=1, x=2, pela reta y=0 e pela curva y=x, que vai ser rotacionada em torno da reta horizontal y=2. O conteúdo aqui é volume de sólidos de revolução usando o método dos discos (ou arcos), e vamos precisar aplicar a fórmula de volume por integração de seções transversais perpendiculares ao eixo de rotação.

Passo 2

Para usar o método dos discos, imaginamos fatias verticais de espessura dx. Cada fatia, ao girar em torno de y=2, gera um anel (um disco com furo no meio). A área desse anel num ponto x é dada por π\bigl(R(x)^2 - r(x)^2\bigr), onde R(x) é o raio externo e r(x) é o raio interno.
Precisamos determinar as distâncias do eixo y=2 até as curvas que limitam a região em cada x. A curva de cima da região é y=x, então o raio interno é r(x)= distância entre y=2 e y=x, ou seja, r(x)=2−x. A curva de baixo é y=0, gerando o raio externo R(x)= distância entre y=2 e y=0, ou seja, R(x)=2.

Passo 3

Montamos então o volume como integral de x=1 até x=2 da área do anel:
V=integral1^2 pil(R(x)^2 - r(x)^2r),dx = integral1^2 pil(2^2 - (2 - x)^2r),dx

Passo 4

Agora basta calcular a integral: primeiro expandimos o integrando:
2^2 - (2 - x)^2 = 4 - (4 - 4x + x^2) = 4x - x^2
Então
V = pi integral1^2 (4x - x^2),dx = pil[2x^2 - tfrac13x^3r]1^2
Avaliaremos em x=2 e em x=1:
Em x=2: 2cdot2^2 - tfrac13,2^3 = 8 - tfrac83 = tfrac163.
Em x=1: 2cdot1^2 - tfrac13,1^3 = 2 - tfrac13 = tfrac53.
Subtraindo, obtemos tfrac163 - tfrac53 = tfrac113, multiplicado por π.

Passo 5

Concluímos que o volume do sólido gerado pela rotação é tfrac113,pi.

Resposta

V = 11pi3

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