Considere a região delimitada pela curva y=-x^2+4 x-3 e a reta y=0. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno da reta y=8.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado ao girar a região limitada por y=–x²+4x–3 e y=0 em torno de y=8. O conteúdo é cálculo de volume por rotação, e vamos usar o método dos discos (ou anéis).

Passo 2

Primeiro achamos os pontos de interseção entre a parábola f(x)=–x²+4x–3 e a reta y=0 resolvendo f(x)=0:
x^2+4x3=0 leva a x^24x+3=0, cujas raízes são x=1 e x=3. Então a região está entre x=1 e x=3, com 0<= y<= f(x).

Passo 3

Como o eixo de rotação é a reta horizontal y=8, cada seção em x é um anel de raio externo R=80=8 e raio interno r=8f(x). Pelo método dos discos o volume é
V=integral1^3pil[R^2-r^2r]dx =integral1^3pil[8^2-(8-f(x))^2r]dx

Passo 4

Expandindo o integrando note que
8^2-(8-f(x))^2=64-l(64-16f(x)+f(x)^2r)=16f(x)-f(x)^2

Passo 5

Substituindo f(x)= -x^2+4x-3 temos o polinômio
16(-x^2+4x-3)-( -x^2+4x-3)^2=-x^4+8x^3-38x^2+88x-57

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
integral1^3(-x^4+8x^3-38x^2+88x-57)dx =l[-x^55+2x^4-383x^3+44x^2-57xr]1^3

Passo 7

Avalia-se em 3 e 1: em 3 dá -18/5 e em 1 dá -358/15). A diferença é
l(-tfrac185r)-l(-tfrac35815r)=tfrac30415

Passo 8

Multiplicando por pi obtemos o volume final.

Resposta

V=tfrac304pi15

Exercícios relacionados