Considere a região delimitada pela curva
e a reta
. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno da reta
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado ao girar a região limitada por y=–x²+4x–3 e y=0 em torno de y=8. O conteúdo é cálculo de volume por rotação, e vamos usar o método dos discos (ou anéis).
Passo 2
Primeiro achamos os pontos de interseção entre a parábola f(x)=–x²+4x–3 e a reta y=0 resolvendo f(x)=0:
leva a
, cujas raízes são
e
. Então a região está entre
e
, com
.
Passo 3
Como o eixo de rotação é a reta horizontal
, cada seção em x é um anel de raio externo
e raio interno
. Pelo método dos discos o volume é
Passo 4
Expandindo o integrando note que
Passo 5
Substituindo
temos o polinômio
Passo 6
Agora integramos termo a termo:
Passo 7
Avalia-se em 3 e 1: em 3 dá
e em 1 dá
. A diferença é
Passo 8
Multiplicando por
obtemos o volume final.