Calcule o volume do sólido que é a interseção do exterior da superfície z^{2}=x^{2}+y^{2} e do interior da superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido definido pela interseção entre:
  • o exterior da superfície \,z^{2}=x^{2}+y^{2}\, e
  • o interior da superfície \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=2x\,.
Informações dadas e observações úteis (apenas listando o que há no enunciado):
  • A superfície \,z^{2}=x^{2}+y^{2}\, é um cone duplo com vértice na origem; a equação pode ser escrita em coordenadas cilíndricas como \,z^{2}=r^{2}\,, onde \,r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,.
  • A superfície \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=2x\, é uma esfera. Completando o quadrado em x obtém-se (x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}=1,ou seja, é uma esfera centrada em (1,0,0) com raio 1.
  • O enunciado fala em "exterior da superfície \,z^{2}=x^{2}+y^{2}\,". Vou interpretar isso como o conjunto de pontos que estão fora do cone, isto é, os pontos que satisfazem z^{2}<x^{2}+y^{2},equivalentemente em coordenadas esféricas a \,\pi/4<\varphi<3\pi/4\, (ver demonstração adiante). Esta escolha é natural pois corresponde à região “em volta do equador” do cone; se alguém interpretasse de outra forma (dentro do cone), o processo muda, mas aqui sigo a interpretação acima.
  • O objetivo final: calcular o volume da região que simultaneamente satisfaz \,x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 2x\, e \,z^{2}<x^{2}+y^{2}\,.

Passo 2

Escolha de coordenadas e razões (explicando bem o porquê, passo-a-passo):
  • Vamos usar coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta) com a convenção x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,onde \rho\ge0, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo medido a partir do eixo z e \theta\in[0,2\pi) é o azimute.
  • Por que esféricas? Porque a equação do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} corresponde a um ângulo fixo em esféricas: substuindo dá \rho^{2}\cos^{2}\varphi=\rho^{2}\sin^{2}\varphi\quad\Rightarrow\quad \cos^{2}\varphi=\sin^{2}\varphi,que se resolve como \varphi=\pi/4 ou \varphi=3\pi/4. Assim o cone é o conjunto \varphi=\pi/4 e \varphi=3\pi/4. Isso torna a condição “fora do cone” simples de expressar em termos de \varphi.
  • A esfera \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=2x\, em esféricas fica \rho^{2}=2\rho\sin\varphi\cos\theta.Para \rho\neq0 isso dá \rho=2\sin\varphi\cos\theta.Esta expressão determina a superfície esférica como uma fronteira radial dependente de \varphi e \theta. Note que o lado direito deve ser não negativo, então exigiremos \cos\theta\ge0 quando for limite em \rho (isto define o intervalo de \theta que contribui).
  • O elemento de volume em esféricas é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Determinar os limites de integração da região (muito detalhado):
  • Condição “interior da esfera”: \,0\le\rho\le 2\sin\varphi\cos\theta\,. Essa é a condição radial.
  • Condição “exterior do cone” (minha interpretação): pontos fora do cone satisfazem \,z^{2}<x^{2}+y^{2}\,. Em esféricas isso é \rho^{2}\cos^{2}\varphi<\rho^{2}\sin^{2}\varphi\quad\Rightarrow\quad \cos^{2}\varphi<\sin^{2}\varphi,o que equivale a \pi/4<\varphi<3\pi/4.Portanto \varphi varia entre \pi/4 e 3\pi/4.
  • A condição de positividade do limite \rho=2\sin\varphi\cos\theta impõe \cos\theta\ge0, logo \theta fica no intervalo -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.(poderíamos também usar \theta\in[0,\pi/2]\cup[3\pi/2,2\pi) mas é mais simples tomar o intervalo simétrico em torno de zero).
  • Resumindo, os limites são: \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],\qquad \varphi\in\left(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}\right),\qquad \rho\in\left[0,\,2\sin\varphi\cos\theta\right].(Note que a desigualdade estrita na condição do cone não altera o volume quando usada com integração.)

Passo 4

Escrever a integral tripla do volume e simplificar a integração radial:
  • O volume V é V=\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}\int_{\varphi=\pi/4}^{3\pi/4}\int_{\rho=0}^{2\sin\varphi\cos\theta}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • Primeiro fazemos a integral em \rho. Lembrando que \int_{0}^{a}\rho^{2}\,d\rho=\dfrac{a^{3}}{3}, obtemos \int_{0}^{2\sin\varphi\cos\theta}\rho^{2}\,d\rho=\frac{\bigl(2\sin\varphi\cos\theta\bigr)^{3}}{3}.
  • Assim a integral fica V=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\frac{\bigl(2\sin\varphi\cos\theta\bigr)^{3}}{3}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.Agrupando fatores: V=\frac{8}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta\;\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin^{4}\varphi\,d\varphi.Observação: a integral separa em produto porque a integranda é produto de função de \theta por função de \varphi.

Passo 5

Calcular a integral em \theta:
  • Temos I_{\theta}=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta.
  • A função \cos^{3}\theta é par, logo I_{\theta}=2\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta.
  • Calcule \int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta via substituição u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta: \int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta=\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,(1-\sin^{2}\theta)\,d\theta =\int_{u=0}^{1}(1-u^{2})\,du=\left[u-\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
  • Portanto I_{\theta}=2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.

Passo 6

Calcular a integral em \varphi com redução de potência (detalhando cada passo):
  • Precisamos de I_{\varphi}=\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin^{4}\varphi\,d\varphi.
  • Usamos a identidade de redução de potência: \sin^{2}\varphi=\frac{1-\cos(2\varphi)}{2}\quad\Rightarrow\quad \sin^{4}\varphi=\left(\frac{1-\cos(2\varphi)}{2}\right)^{2}.Expandindo: \sin^{4}\varphi=\frac{1}{4}\bigl(1-2\cos(2\varphi)+\cos^{2}(2\varphi)\bigr).E \cos^{2}(2\varphi)=\dfrac{1+\cos(4\varphi)}{2}. Substituindo e simplificando: \sin^{4}\varphi=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos(2\varphi)+\frac{1}{8}\cos(4\varphi).
  • Assim um primitivo é \int\sin^{4}\varphi\,d\varphi=\frac{3}{8}\varphi-\frac{1}{4}\sin(2\varphi)+\frac{1}{32}\sin(4\varphi)+C.
  • Avaliando de \varphi=\pi/4 até \varphi=3\pi/4:
    • Em \varphi=3\pi/4: \frac{3}{8}\cdot\frac{3\pi}{4}-\frac{1}{4}\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)+\frac{1}{32}\sin(3\pi) =\frac{9\pi}{32}-\frac{1}{4}\cdot(-1)+0=\frac{9\pi}{32}+\frac{1}{4}.
    • Em \varphi=\pi/4: \frac{3}{8}\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{1}{4}\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)+\frac{1}{32}\sin(\pi) =\frac{3\pi}{32}-\frac{1}{4}+0=\frac{3\pi}{32}-\frac{1}{4}.
  • Subtraindo (valor superior menos inferior): I_{\varphi}=\left(\frac{9\pi}{32}+\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{3\pi}{32}-\frac{1}{4}\right) =\frac{6\pi}{32}+\frac{1}{2}=\frac{3\pi}{16}+\frac{1}{2}.

Passo 7

Juntar resultados e simplificar a expressão do volume:
  • Lembrando que V=\frac{8}{3}\,I_{\theta}\,I_{\varphi},com I_{\theta}=\dfrac{4}{3} e I_{\varphi}=\dfrac{3\pi}{16}+\dfrac{1}{2}.
  • Então V=\frac{8}{3}\cdot\frac{4}{3}\left(\frac{3\pi}{16}+\frac{1}{2}\right) =\frac{32}{9}\left(\frac{3\pi}{16}+\frac{1}{2}\right).
  • Distribuindo: V=\frac{32}{9}\cdot\frac{3\pi}{16}+\frac{32}{9}\cdot\frac{1}{2} =\frac{96\pi}{144}+\frac{16}{9}.Simplificando \dfrac{96}{144}=\dfrac{2}{3}, obtemos V=\frac{2\pi}{3}+\frac{16}{9}.
  • Colocando em uma única fração com denominador 9: V=\frac{6\pi+16}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{6\pi+16}{9}

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