Calcule o volume do sólido que é a interseção do exterior da superfície
e do interior da superfície
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido definido pela interseção entre:
- o exterior da superfície
e - o interior da superfície
.
Informações dadas e observações úteis (apenas listando o que há no enunciado):
- A superfície
é um cone duplo com vértice na origem; a equação pode ser escrita em coordenadas cilíndricas como , onde . - A superfície
é uma esfera. Completando o quadrado em obtém-se ou seja, é uma esfera centrada em com raio . - O enunciado fala em "exterior da superfície
". Vou interpretar isso como o conjunto de pontos que estão fora do cone, isto é, os pontos que satisfazem equivalentemente em coordenadas esféricas a (ver demonstração adiante). Esta escolha é natural pois corresponde à região “em volta do equador” do cone; se alguém interpretasse de outra forma (dentro do cone), o processo muda, mas aqui sigo a interpretação acima. - O objetivo final: calcular o volume da região que simultaneamente satisfaz
e .
Passo 2
Escolha de coordenadas e razões (explicando bem o porquê, passo-a-passo):
- Vamos usar coordenadas esféricas
com a convenção onde , é o ângulo medido a partir do eixo e é o azimute. - Por que esféricas? Porque a equação do cone
corresponde a um ângulo fixo em esféricas: substuindo dá que se resolve como ou . Assim o cone é o conjunto e . Isso torna a condição “fora do cone” simples de expressar em termos de . - A esfera
em esféricas fica Para isso dá Esta expressão determina a superfície esférica como uma fronteira radial dependente de e . Note que o lado direito deve ser não negativo, então exigiremos quando for limite em (isto define o intervalo de que contribui). - O elemento de volume em esféricas é
Passo 3
Determinar os limites de integração da região (muito detalhado):
- Condição “interior da esfera”:
. Essa é a condição radial. - Condição “exterior do cone” (minha interpretação): pontos fora do cone satisfazem
. Em esféricas isso é o que equivale a Portanto varia entre e . - A condição de positividade do limite
impõe , logo fica no intervalo (poderíamos também usar mas é mais simples tomar o intervalo simétrico em torno de zero). - Resumindo, os limites são:
(Note que a desigualdade estrita na condição do cone não altera o volume quando usada com integração.)
Passo 4
Escrever a integral tripla do volume e simplificar a integração radial:
- O volume
é - Primeiro fazemos a integral em
. Lembrando que , obtemos - Assim a integral fica
Agrupando fatores: Observação: a integral separa em produto porque a integranda é produto de função de por função de .
Passo 5
Calcular a integral em
:
- Temos
- A função
é par, logo - Calcule
via substituição , : - Portanto
Passo 6
Calcular a integral em
com redução de potência (detalhando cada passo):
- Precisamos de
- Usamos a identidade de redução de potência:
Expandindo: E . Substituindo e simplificando: - Assim um primitivo é
- Avaliando de
até : - Em
: - Em
:
- Em
- Subtraindo (valor superior menos inferior):
Passo 7
Juntar resultados e simplificar a expressão do volume:
- Lembrando que
com e . - Então
- Distribuindo:
Simplificando , obtemos - Colocando em uma única fração com denominador
: