Seja
e
. Encontre a expressão para a função composta
e determine o domínio da função composta.
Passo 1
A questão pede para compor as funções f(x)=x^{2}-2x+3 e g(x)=\frac{x}{x-1}, ou seja, encontrar (f\circ g)(x)=f(g(x)). O conteúdo envolve composição de funções e análise de domínio, e vamos precisar usar substituição de g(x) em f e depois simplificar a expressão racional.
Passo 2
Primeiro escrevemos (f\circ g)(x) como f(g(x)) e fazemos a substituição de g(x) em f:
Temos g(x)=\frac{x}{x-1}, logo
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=(g(x))^{2}-2,g(x)+3.
Substituindo g(x):
(f\circ g)(x)=\Bigl(\frac{x}{x-1}\Bigr)^{2}-2\cdot\frac{x}{x-1}+3.
Temos g(x)=\frac{x}{x-1}, logo
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=(g(x))^{2}-2,g(x)+3.
Substituindo g(x):
(f\circ g)(x)=\Bigl(\frac{x}{x-1}\Bigr)^{2}-2\cdot\frac{x}{x-1}+3.
Passo 3
Para simplificar transformamos tudo sobre o mesmo denominador (x-1)^{2}. Assim,
Agora desenvolvendo e somando termos: x{2}-2x(x-1)=x{2}-2x{2}+2x=-x{2}+2x e 3(x-1){2}=3(x{2}-2x+1)=3x^{2}-6x+3.
Somando tudo no numerador:
(-x{2}+2x)+(3x{2}-6x+3)+x{2}=2x{2}-4x+3.
Logo
Somando tudo no numerador:
(-x{2}+2x)+(3x{2}-6x+3)+x{2}=2x{2}-4x+3.
Logo
Passo 4
Para achar o domínio de (f\circ g)(x) observamos que g(x)=\frac{x}{x-1} exige x\neq1 (denominador não pode ser zero). A função f é polinomial, definida para todos os reais. Não há outras restrições, então o domínio da composta é todos os reais exceto x=1, ou seja,
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