Calcule o volume do sólido limitado por:
A menor região da esfera e do plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que está limitado pela esfera e pelo plano . Isso envolve conceitos de geometria espacial e cálculo de volumes usando integração. Para isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração e utilizar coordenadas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a esfera e o plano que nos deram. A equação representa uma esfera com raio 2 e centro na origem. Já o plano é uma superfície plana que corta a esfera.
Passo 3
Queremos encontrar a região menor que fica entre a esfera e o plano. Imaginando, essa é a parte da esfera que está acima do plano , formando uma “tampa” esférica, também conhecida como capúla esférica.
Passo 4
Para calcular o volume dessa capúla, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são úteis para simetria circular. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o diferencial de volume é .
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração:
varia de 0 a para cobrir toda a volta.
varia de 0 até a projeção da esfera no plano . Substituindo na equação da esfera:
varia de 1 até a parte superior da esfera. A equação da esfera resolvida para :