Calcule o volume do sólido limitado por:
A menor região da esfera x^2+y^2+z^2=4 e do plano z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que está limitado pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 e pelo plano z = 1. Isso envolve conceitos de geometria espacial e cálculo de volumes usando integração. Para isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração e utilizar coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a esfera e o plano que nos deram. A equação x^2 + y^2 + z^2 = 4 representa uma esfera com raio 2 e centro na origem. Já o plano z = 1 é uma superfície plana que corta a esfera.

Passo 3

Queremos encontrar a região menor que fica entre a esfera e o plano. Imaginando, essa é a parte da esfera que está acima do plano z = 1, formando uma “tampa” esférica, também conhecida como capúla esférica.

Passo 4

Para calcular o volume dessa capúla, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são úteis para simetria circular. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o diferencial de volume é dV = r , dr , dtheta , dz.

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração:
  • theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a volta.
  • r varia de 0 até a projeção da esfera no plano z = 1. Substituindo z = 1 na equação da esfera:
x^2 + y^2 + 1^2 = 4 Rightarrow x^2 + y^2 = 3 implies r = raiz3
  • z varia de 1 até a parte superior da esfera. A equação da esfera resolvida para z:
z = raiz4 - r^2

Passo 6

Agora montamos a integral tripla para o volume:
V = integral0^2pi integral0^raiz3 integral1^raiz4 - r^2 r , dz , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral em z primeiro:
integral1^raiz4 - r^2 dz = raiz4 - r^2 - 1
Então, a integral fica:
V = integral0^2pi integral0^raiz3 r ( raiz4 - r^2 - 1 ) dr , dtheta

Passo 8

Integramos em r:
integral0^raiz3 r raiz4 - r^2 , dr e integral0^raiz3 r , dr
Fazendo substituição para a primeira integral:
u = 4 - r^2 Rightarrow du = -2r , dr Rightarrow r , dr = -12 du
A integral se transforma em:
-12 integral4^1 raizu , du = 12 integral1^4 raizu , du = 12 [ 23 u^3/2 ]1^4 = 13 ( 8 - 1 ) = 73
Para a segunda integral:
integral0^raiz3 r , dr = 12 r^2 g|0^raiz3 = 12 times 3 = 32

Passo 9

Substituindo de volta na integral original:
V = integral0^2pi ( 73 - 32 ) dtheta = integral0^2pi ( 14 - 96 ) dtheta = integral0^2pi 56 dtheta

Passo 10

Finalmente, integramos em theta:
V = 56 times 2pi = 5pi3

Resposta

O volume do sólido limitado pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 e pelo plano z = 1 é 5pi3 unidades cúbicas.

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