Determine uma equação do plano tangente à superfície z=e^x-y no ponto (2,2,1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a superfície e queremos encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto . Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais para determinar as inclinações do plano nas direções de e .

Passo 2

Para achar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a . Vamos determinar e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de partial zpartial x = partialpartial x ( e^x - y ) = e^x - y em relação a :

Passo 4

Calculando a derivada parcial de partial zpartial y = partialpartial y ( e^x - y ) = -e^x - y em relação a :

Passo 5

Agora, avaliamos as derivadas no ponto partial zpartial x|(2,2) = e^2 - 2 = e^0 = 1 . Substituindo partial zpartial y|(2,2) = -e^2 - 2 = -e^0 = -1 e :

Passo 6

Com as derivadas parciais, a equação do plano tangente pode ser escrita como:
z - z0 = partial zpartial x(x - x0) + partial zpartial y(y - y0)
Onde .

Passo 7

Substituindo os valores:
z - 1 = 1 cdot (x - 2) - 1 cdot (y - 2)
Simplificando:
z - 1 = x - 2 - y + 2
z = x - y + 1

Resposta

A equação do plano tangente é .

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