Calcule as derivadas parciais
f(x, y)=raiz[3]x^3+y^2+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) = \sqrt[3]{x{3}+y{2}+5} $. O assunto aqui é derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de várias variáveis e queremos saber como a função muda em relação a uma variável mantendo as outras constantes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar algumas regras de derivação, como a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação:
f
Aqui, vemos que temos uma função composta: uma função externa $ u^{\frac{1}{3}} $ e uma função interna $ u = x^{3} + y^{2} + 5 $. Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
  1. Derivada da função externa $ u^{\frac{1}{3}} $ em relação a $ u $:
partial fpartial x
  1. Derivada da função interna $ u = x^{3} + y^{2} + 5 $ em relação a $ x $:
u^13
  1. Multiplicando as duas derivadas:
u
Simplificando:
ddu ( u^13 ) = 13 u^-23

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Seguimos o mesmo procedimento:
f
  1. Derivada da função externa $ u^{\frac{1}{3}} $ em relação a $ u $:
y
  1. Derivada da função interna $ u = x^{3} + y^{2} + 5 $ em relação a $ y $:
partial fpartial y
  1. Multiplicando as duas derivadas:
f(x, y) = (x^3 + y^2 + 5)^13
Simplificando:
u^13

Resposta

As derivadas parciais da função $ f(x, y) = \sqrt[3]{x{3}+y{2}+5} $ são:
f(x, y) = raiz[3]x^3+y^2+5
e
partial fpartial x = x^2 (x^3 + y^2 + 5)^-23

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