Calcule as derivadas parciais
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) = \sqrt[3]{x{3}+y{2}+5} $. O assunto aqui é derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de várias variáveis e queremos saber como a função muda em relação a uma variável mantendo as outras constantes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar algumas regras de derivação, como a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação:
Aqui, vemos que temos uma função composta: uma função externa $ u^{\frac{1}{3}} $ e uma função interna $ u = x^{3} + y^{2} + 5 $. Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
- Derivada da função externa $ u^{\frac{1}{3}} $ em relação a $ u $:
- Derivada da função interna $ u = x^{3} + y^{2} + 5 $ em relação a $ x $:
- Multiplicando as duas derivadas:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Seguimos o mesmo procedimento:
- Derivada da função externa $ u^{\frac{1}{3}} $ em relação a $ u $:
- Derivada da função interna $ u = x^{3} + y^{2} + 5 $ em relação a $ y $:
- Multiplicando as duas derivadas:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função $ f(x, y) = \sqrt[3]{x{3}+y{2}+5} $ são:
e