Nos exercícios 5. e 6. para a região R dada decomponha \iint_{R} f(x, y) nas duas possíveis ordens de integração.
R é a região limitada pelas curvas x^{2}-y^{2}=1 e 3 x=2 y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para escrever
\displaystyle \iint_{R}f(x,y)
nas duas ordens de integração, onde R é a região limitada pela hipérbole
x^{2}-y^{2}=1
e pela parábola
3x=2y^{2}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{2}{3}y^{2}.
Para parametrizar R precisamos primeiro achar os pontos de interseção dessas curvas. Substituindo x=\tfrac{2}{3}y^{2} em x^{2}-y^{2}=1 temos
\Bigl(\tfrac{2}{3}y^{2}\Bigr)^{2}-y^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{9}y^{4}-y^{2}-1=0.
Fazendo u=y^{2} vem
4u^{2}-9u-9=0 \quad\Longrightarrow\quad u=3\quad(\text{descartamos }u=-\tfrac34).
Logo y=\pm\sqrt{3} e, em cada caso,
x=\frac{2}{3}\,(\sqrt{3})^{2}=2.
Portanto as curvas se cruzam em \bigl(2,\pm\sqrt3\bigr).

Passo 2

Ordem \d x\,\d y.
Para cada y\in[-\sqrt3,\sqrt3], o x varia da parábola (menor x) até a hipérbole (maior x):
\frac{2}{3}y^{2}\;\le\;x\;\le\;\sqrt{1+y^{2}}.
Assim
\iint_{R}f(x,y)\,\d A = \int_{y=-\sqrt3}^{\sqrt3} \Biggl(\, \int_{x=\frac{2}{3}y^{2}}^{\sqrt{1+y^{2}}} f(x,y)\,\d x \Biggr)\d y.

Passo 3

Ordem \d y\,\d x.
O x na região vai de x_{\min}=0 (na parábola em y=0) até x_{\max}=2. Mas note que para 0\le x<1 a hipérbole não contribui (não há solução real de y), e para 1\le x\le2 o corte vertical cruza duas vezes a hipérbole.
  1. Se 0\le x\le1, a única restrição vem de
x\ge\frac{2}{3}y^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad -\sqrt{\tfrac{3x}{2}}\;\le\;y\;\le\;\sqrt{\tfrac{3x}{2}}.
  1. Se 1\le x\le2, além de y^{2}\le\frac{3x}{2} temos y^{2}\ge x^{2}-1, o que gera dois trechos de y:
-\sqrt{\tfrac{3x}{2}}\le y\le -\sqrt{x^{2}-1} \quad\text{e}\quad \sqrt{x^{2}-1}\le y\le \sqrt{\tfrac{3x}{2}}.
Portanto a integral fica
\iint_{R}f(x,y)\,\d A = \int_{x=0}^{1} \Biggl(\, \int_{y=-\sqrt{\tfrac{3x}{2}}}^{\sqrt{\tfrac{3x}{2}}} f(x,y)\,\d y \Biggr)\d x \;+\; \int_{x=1}^{2} \Biggl( \int_{y=-\sqrt{\tfrac{3x}{2}}}^{-\sqrt{x^{2}-1}} \!f(x,y)\,\d y \;+\; \int_{y=\sqrt{x^{2}-1}}^{\sqrt{\tfrac{3x}{2}}} \!f(x,y)\,\d y \Biggr)\d x.

Resposta

Ordem \d x\,\d y:
\boxed{ \int_{y=-\sqrt3}^{\sqrt3} \int_{x=\frac{2}{3}y^{2}}^{\sqrt{1+y^{2}}} f(x,y)\,\d x\,\d y }.
Ordem \d y\,\d x:
\boxed{ \int_{0}^{1} \int_{-\sqrt{\tfrac{3x}{2}}}^{\sqrt{\tfrac{3x}{2}}} f(x,y)\,\d y\,\d x \;+\; \int_{1}^{2} \Biggl[ \int_{-\sqrt{\tfrac{3x}{2}}}^{-\sqrt{x^{2}-1}} f(x,y)\,\d y + \int_{\sqrt{x^{2}-1}}^{\sqrt{\tfrac{3x}{2}}} f(x,y)\,\d y \Biggr]\d x }.

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