Calcule as seguintes integrais duplas se D=[0,1] \times[0,1]
\iint_{D}(a x+b y+c) d x d y, onde a, b e c são constantes;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o domínio D=[0,1]\times[0,1] da função linear a x + b y + c, onde a, b e c são constantes. Em resumo:
  • Dominio: D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1\}.
  • Integrando: f(x,y)=a x + b y + c.
  • Pedido: calcular \displaystyle \iint_{D} (a x + b y + c)\,dx\,dy.

Passo 2

Estratégia (explicação didática e simples):
  • Para domínios retangulares como D, a integral dupla pode ser calculada como integral iterada (primeiro em x, depois em y, ou vice‑versa). Isto é, aplicar a propriedade de linearidade e a regra de Fubini para escrever:
\iint_{D} (a x + b y + c)\,dx\,dy = \int_{y=0}^{1} \left(\int_{x=0}^{1} (a x + b y + c)\,dx\right) dy.
  • A ideia é integrar em relação a x mantendo y fixo (tratado como constante nesta etapa), e depois integrar o resultado em relação a y.
  • Lembrete sobre integrais simples usadas aqui:
    • \displaystyle \int_{0}^{1} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
    • \displaystyle \int_{0}^{1} 1\,dx = 1.
    • A integral é linear: \int ( \alpha u + \beta v ) = \alpha\int u + \beta\int v.

Passo 3

Calcular a integral interna em x (aqui y é constante):
\int_{x=0}^{1} (a x + b y + c)\,dx = a\int_{0}^{1} x\,dx + b y \int_{0}^{1} 1\,dx + c\int_{0}^{1} 1\,dx.
Usando os valores conhecidos:
\int_{0}^{1} x\,dx = \frac{1}{2},\qquad \int_{0}^{1} 1\,dx = 1,
temos
\int_{x=0}^{1} (a x + b y + c)\,dx = a\cdot\frac{1}{2} + b y \cdot 1 + c\cdot 1 = \frac{a}{2} + b y + c.

Passo 4

Agora integramos o resultado em relação a y de 0 a 1:
\int_{y=0}^{1} \left(\frac{a}{2} + b y + c\right) dy = \frac{a}{2}\int_{0}^{1} 1\,dy + b\int_{0}^{1} y\,dy + c\int_{0}^{1} 1\,dy.
Calcular as integrais simples:
\int_{0}^{1} 1\,dy = 1,\qquad \int_{0}^{1} y\,dy = \frac{1}{2}.

Passo 5

Substituindo esses valores:
\int_{y=0}^{1} \left(\frac{a}{2} + b y + c\right) dy = \frac{a}{2}\cdot 1 + b\cdot\frac{1}{2} + c\cdot 1 = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + c.
Pode-se também escrever a resposta de forma equivalente como \displaystyle \frac{a+b+2c}{2}.

Passo 6

Interpretação rápida (motivação para prova): o resultado mostra que, sobre o quadrado unitário, a contribuição média de x e y aparece como suas médias (cada uma com fator 1/2), enquanto a constante c simplesmente multiplica a área do domínio (a área do quadrado unitário é 1). Isso é uma consequência direta da linearidade da integral e do fato de a média de x em [0,1] ser \tfrac{1}{2} (mesmo para y).

Resposta

\dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{2} + c

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