Calcule as seguintes integrais duplas se D=[0,1] \times[0,1] \iint_{D}(a x+b y+c) d x d y, onde a, b e c são constantes;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o domínio D=[0,1]\times[0,1] da função linear a x + b y + c, onde a, b e c são constantes. Em resumo:
Dominio: D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1\}.
Integrando: f(x,y)=a x + b y + c.
Pedido: calcular \displaystyle \iint_{D} (a x + b y + c)\,dx\,dy.
Passo 2
Estratégia (explicação didática e simples):
Para domínios retangulares como D, a integral dupla pode ser calculada como integral iterada (primeiro em x, depois em y, ou vice‑versa). Isto é, aplicar a propriedade de linearidade e a regra de Fubini para escrever:
\iint_{D} (a x + b y + c)\,dx\,dy = \int_{y=0}^{1} \left(\int_{x=0}^{1} (a x + b y + c)\,dx\right) dy.
A ideia é integrar em relação a x mantendo y fixo (tratado como constante nesta etapa), e depois integrar o resultado em relação a y.
\int_{y=0}^{1} \left(\frac{a}{2} + b y + c\right) dy = \frac{a}{2}\cdot 1 + b\cdot\frac{1}{2} + c\cdot 1 = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + c.
Pode-se também escrever a resposta de forma equivalente como \displaystyle \frac{a+b+2c}{2}.
Passo 6
Interpretação rápida (motivação para prova): o resultado mostra que, sobre o quadrado unitário, a contribuição média de x e y aparece como suas médias (cada uma com fator 1/2), enquanto a constante c simplesmente multiplica a área do domínio (a área do quadrado unitário é 1). Isso é uma consequência direta da linearidade da integral e do fato de a média de x em [0,1] ser \tfrac{1}{2} (mesmo para y).